Temos aqui nesse material um resumo de todos os critérios de divisibilidade . O critério de divisibilidade é uma regra que permite avaliarmos se um dado número natural é ou não divisível por outro número natural, sem que seja necessário efetuarmos a divisão.

Todos os Critérios de Divisibilidade

1) Critério de divisibilidade por potências de 2

O  critério da divisibilidade por 2 é o mais simples de todos:

Um número é divisível por 2 quando for par ou quando seu algarismo das unidades for divisível por 2.

Então para saber se um número é divisível por 2, basta olhar para o último algarismo também chamado como algarismo da unidades. Se ele for a 0, 2, 4, 6 ou 8.

Um número divisível por 2 também é chamado de par; dessa forma, podemos afirmar que os números pares são aqueles com algarismos das unidades iguais a 0, 2, 4, 6 ou 8. Um número que não será divisível por 2 se o último algarismo for ímpar.

Exemplo 1. Os número 3016, 722, 4670, 4916 e 8808 são divisíveis por 2, pois têm algarismos das unidades também divisíveis por 2; logo, tais número são pares.

 Os número 1337, 3515, 465793, 41253 e 33 não são divisíveis por 2, logo, são ímpares.

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2) Critério de divisibilidade por potências de 4

Um número N é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos for divisível por 4, ou seja, quando o número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades de N  é  divisível por 4.

Exemplo 2. Os números 100, 4508, 109728 e 59708 são divisíveis por 4, pois seus dois últimos algarismos, respectivamente 00, 08, 28 e 48, formam números divisíveis por 8.

Os números 4443, 1817, 2015 e 63663 não são divisíveis por 4, pois seus dois últimos algarismos, respectivamente 43, 17, 15 e 63, formam números que não são divisíveis por 4.

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3) Critério de divisibilidade por potências de 8

 Um número N é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos formam um número divisível  por 8, ou seja, quando o número formados pelos algarismos das centenas, dezenas e unidades de N é divisível por 8.

Exemplo 3. Os números 24136, 90184, 4088 e 99808112 são divisíveis por 8, pois os números formados por seus três  últimos algarismos, respectivamente 136, 184 ,088  e 112 são divisíveis por 8.

Os números 908881, 3851123, 877778 e 27819292, pois os números formados por seus três últimos algarismos, respectivamente 881, 123, 778 e 292, não são divisíveis por 8.

Temos aqui um padrão,  que se repete nos três casos de potências de base 2.

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 4) Critério de divisibilidade por potências múltiplas de 2

• Um número N é divisível por 2¹ se o número formado pelo último algarismo de N for divisível por 2¹.
• Um número N é divisível por 2² se o número formado pelos 2 últimos algarismos de N for divisível por 2².
• Um número  N é divisível por 2³ se o número formado pelos 3 últimos algarismos de N for divisível por 2³.
• e assim por diante…

Vamos dar um exemplo:

Exemplo 4. O número natural N = 3457098432 é divisível por 16?

Os  últimos 4 algarismos  é 8432  divisível por 16, logo N é  divisível por 16.

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5) Critério de divisibilidade por 3

Um número N é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3.

A divisibilidade por 3 tem o mesmo padrão da regra de divisibilidade dos múltiplos de 2

Exemplos 6. O número 423 é divisível por 3, pois 4 + 2 + 3 = 9, e 9 é  divisível por 3.

O número  123332 não é divisível  por 3, pois 1+2+3+3+3+1 = 13  e 13 não é divisível por 3.

a soma de seus algarismos quando dividido por 3.

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6) Critério de divisibilidade por 6

O critério de divisibilidade por 6 é interessante pelo fato de ser analisado através de outros dois critérios de divisibilidade (divisibilidade por 2 e divisibilidade por 3). Isso ocorre porque o número 6 é formado pela multiplicação de 2×3, portanto um número divisível por 6 é aquele número que é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

Exemplo O número 123456 é divisível por 6? Para ser divisível por 6 esse número deve ser par para ser divisível por 2 e deve ser divisível por 3 ou seja a soma de todos os algarismos deve ser divisível por 3.

1+2+3+4+5+6 = 21 é divisível por 3

Logo  o número 123456 é divisível por 6 pois é também por 2 e 3 ao mesmo tempo.

7) Critério de divisibilidade por 9

Um número N é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Podemos dizer também que um número deixa o mesmo resto que a soma de seus algarismos quando dividido por 9.

Exemplo. O número 81153 é divisível por 9, pois 8+1+1 + 5 + 3 = 18  é  por 9.

Vamos testar a divisibilidade por 9 de um número grande: N = 4557216050676.

A soma dos algarismos desse número é 4 + 5 + 5 + 7 + 2 + 1 + 6 + 0 + 5 + 0 + 6 + 7 + 6 = 54

e 54 é um múltiplo de 9, logo N é múltiplo de 9. Veja que poderíamos ter repetido o primeiro passo para o resultado da soma, obtendo 5 + 4 = 9. 

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8) Critério de divisibilidade por 5

Podemos dizer que um número é divisível por 5 se seu último algarismo terminar em 0 ou 5.

Exemplos  O número 2435 é divisível por 5 pois termina em 5. O número 3210 é divisível por 5 pois termina em 0. 

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9) Critério de divisibilidade por 25

Para a divisibilidade por 25 devemos verificar os dois últimos algarismos do número. Um número  N é divisível por 25 se número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades de N é divisível por 25, isso significa que ele deve terminar em 00, 25, 50 ou 75.

Exemplo Os números 225, 341175, 984150 e 72100 são todos divisíveis por 25, pelo critério acima. Os números 1914, 33026, 220001 e 98461 não são divisíveis por 25.

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10) Critério de divisibilidade por 125

Para 125 = 5³, temos um critério similar ao da divisibilidade da base 2:

Um número  N é divisível por 125 se o número formado pelos 3 últimos algarismos, que são eles: algarismos das centenas, das dezenas e das unidades de N é divisível por 125.

Exemplo  Os números 9000, 33125, 6679250, 272375, 356500, 1217625, 19472750

e 900875 são todos divisíveis por 125, pois os números formados pelos seus três últimos algarismos são, respectivamente, 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 e 875, todos divisíveis por 125.

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11) Critério de divisibilidade por 7

Antes de definirmos a divisibilidade por 7 vamos entende a estrutura numérica.

A posição de cada algarismo de um número, contada a partir da direita, é chamada ordem do algarismo. Assim, em um número, o algarismo das unidades é de primeira ordem, o das dezenas é de segunda ordem, o das centenas é de terceira ordem, assim por diante. Por exemplo, no número N = 89432   as ordens são as seguintes:

8 é de 5^a , 9 é de 4^a , 4 é de 3^a , 3 é de 2^a e 2 é de 1^a  ordem

Cada grupo de três ordens de um número, contadas a partir da direita, forma uma classe. A primeira classe é formada pelas três primeiras ordens: unidades, dezenas e centenas. A segunda classe é formada pelas três ordens seguintes: unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar. A terceira classe é formada pelas ordens, da sétima à nona: unidades de milhão, dezenas de milhão e centenas de milhão, e assim sucessivamente. Dessa forma, cada classe possui três ordens.

Pelas novas regras e normas da ABNT não podemos mais separar as classes por números. Antigamente fazíamos essa separação. As classes se separavam por pontos  de 3 em 3 algarismos da direita para esquerda.

Regra: Para um número ser divisível por 7 a diferença dos números da classe impar e da classe par (Sci − Scp) deve ser divisível por 7 

Vamos ver esse exemplo:  N = 214.356.728.913

Classes

4^a  classe 214

3^a  classe 356

2^a  classe 728

1^a  classe 913

Para o número N acima, os números da 1^a, 2^a, 3^a e 4^a classes são, respectivamente, 913, 728, 356 e 214.

Vamos chamar de Sci a soma dos números das classes ímpares e  Scp a soma nos números das classes pares de um determinado número.

Exemplo: Temos  N = 214356728913,

Sci = 913 + 356 = 1269

Scp = 728 + 214 = 942

Sci − Scp = 1269 − 942 = 327.

 Como o número 327 = 7 · 46+5 deixa resto 5 quando dividido por 7, o número N também deixa resto 5 quando dividido por 7.

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13) Critério de divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
1) 4560 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 456 não é divisível 9 por 10, pois não termina em 0.

14) Critério de divisibilidade por 11

Um número natural N é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar (Soi) e a soma dos algarismos de ordem par (Sop) for um número divisível por 11.

Observação: Também podemos dizer que N deixa o mesmo resto que Soi − Sop quando dividido por 11.

Exemplo  Considere o número N = 3767632. Temos

os números 3, 7, 6, 7, 6, 3 e  2    pertencem a    7^a , 6^a    , 5^a  ,4^a  , 3^a  , 2^a  e 1^a  respectivamente

Logo: 

Soi = 2 + 6 + 6 + 3 = 17

Sop = 3 + 7 + 7 = 17.

Como Soi−Sop = 17−17 = 0  e 0 é divisível por 11, logo o número N é divisível por 11.

15) Critério de divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3)

16) Critério de divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).