PA de Segunda Ordem ou Progressão Aritmética de segunda Ordem [VÍDEO]
Você lembra daquela questão impossível da prova? Você certamente já se deparou com questões de progressão que não conseguiu resolver. Muitas vezes era por não saber identificar a sua sequência. Esse tipo de questão se chama: PA de Segunda Ordem ou Progressão Aritmética de segunda Ordem.
Primeiramente, em todas as provas de vestibular e Enem tem duas ou mais questões de Progressão. Normalmente uma é de PA e outra é de PG.
Por isso, para identificar o tipo de progressão, nós devemos primeiramente encontrar a razão da mesma. Se a divisão entre o termo sucessor e o antecessor, em qualquer lugar da Progressão, apresentar o mesmo valor nós teremos uma PG, mas se a diferença entre esses termos for tiver o mesmo resultado nós teremos uma PA.
O problema é que em algumas questões não conseguimos encontrar essa razão, pelo fato de que essa questão é de uma progressão aritmética de segunda ordem.
Vejam esse exemplo: (2, 5, 11, 20,32,…) aqui você não consegue identificar nem PA e nem PG, mas se fizer a diferença entre os termos aparecerá uma PA verdadeira de razão 3: (2, 5, 11, 20,32,…).
COMO CALCULAR A RAZÃO DE PA:
r = a2 – a1 = a3 – a2 = …
Então teremos duas progressões a de primeira ordem: (2, 5, 11, 20,32,…) e a de segunda
Veja: 5-2 =3 , 11-5=6, 20-11=9 , 32-20=12
Dessa forma teremos uma segunda Progressão que chamamos de “segunda ordem “: (3, 6, 9, 12…) e a primeira sequência que aparece no enunciado: (2, 5, 11, 20,32,…) que chamamos de primeira ordem.
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Como calcular:
PA de Segunda Ordem ou Progressão Aritmética de segunda Ordem
Agora vamos ver como se calcula um determinado termo dessa PA
an = a1 (primeira ordem) + Sn-1(segunda ordem)
Resumindo: para encontrar um determinado termo de uma sequência que não seja uma PA ou uma PG temos que somar o primeiro termo dessa progressão com a soma dos n-1 termos da nova progressão formada pela diferença dos termos da sequência original.
Vamos ver exemplos na prática!
1) Qual o vigésimo termo (2, 5, 11, 20, 32, …)
Usando a fórmula :
an = a1 (primeira ordem) + Sn-1(segunda ordem)
Na sequência o primeiro termo a1 (primeira ordem) é 2!
Já vimos que a PA de segunda ordem é: (3, 6, 9, 12 ,…)
Como queremos saber o vigésimo termo então n=20
Antes precisamos achar o valor do décimo nono termo da PA de segunda
ordem: (3, 6, 9, 12 ,…)
an=a1+(n-1).r
a19= 3 + (19-1).3
a1= 57
Precisamos agora calcular a Sn-1 (segunda ordem) = soma dos 19 termos da sequência de segunda ordem.
Sn-1 = (a1+an).n/2
S19 =(3+57).19/2
S19 = 570
Agora é só somar an = a1 (primeira ordem) + Sn-1 (segunda ordem)
a20= 2 + 570
Resposta: a20= 572
Vamos ver outro exemplo de PA de Segunda Ordem ou Progressão Aritmética de segunda Ordem
2) Qual é o último termo da vigésima linha
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
Os últimos termos das linhas formam uma sequência que chamamos de primeira ordem: (1, 3, 6, 10, 15,…)
Como queremos saber o último termo da vigésima linha precisamos criar a PA de segunda ordem pela diferença dos termos da primeira sequência (3-1=2, 6-3=3 , 10-6=4, 15-10=5,…)
Logo a PA de segunda ordem é (2, 3, 4, 5,…)
Antes precisamos achar o valor do décimo nono termo da PA de segunda: (2, 3, 4, 5,…)
an=a1+(n-1).r
a19= 2 + (19-1).1
a1= 20
Precisamos agora calcular a Sn-1 (segunda ordem) = soma dos 19 termos da sequência de segunda ordem: (2, 3, 4, 5,…)
Sn-1 = (a1+an).n/2
Sn-1 = (2+20).19/2
Sn-1 = 209
Então temos duas progressões: primeira ordem (1, 3, 6, 10, 15,…) e segunda ordem (2, 3, 4, 5,…)
Agora é só somar an = a1 (primeira ordem) + Sn-1 (segunda ordem)
a20= 1 + 209
a20= 210
Agora faça você a questão abaixo:
(UFRGS) Considere a disposição de números abaixo.
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
O primeiro elemento da quadragésima linha
a) 777.
b) 778.
c) 779.
d) 780.
e) 781.
Resposta “E”
Como conclusão, se você conseguiu resolver coloque sim nos comentários. Parabéns agora você está preparado para a questão mais difícil de progressão da prova!
