Números Racionais, Decimais e Periódicos [Vídeo]
Você já conhece as frações. A origem delas está ligada a certas situações de medida em que era necessário registrar partes da unidade. Mas as frações têm um significado mais amplo. Saiba também que elas também podem ser números racionais, decimais e periódicos
Números Racionais, Decimais e Periódicos
Vamos lembrar?
Vimos que o quociente entre dois números inteiros nem sempre é um número inteiro.
O pai de Ana, Beatriz e Clara trouxe duas barras de chocolate para serem repartidas entre as três filhas.
Mas como essa divisão poderia ser feita?
Então Ana propôs que cada barra fosse dividida em três partes iguais e que cada irmã ficasse com duas dessas partes.
O número obtido pela divisão de dois números inteiros formam o conjunto dos racionais que é representado pela letra “Q” (de quociente). Divisões que não tem resultado em “Z”, tem resultado em Q.
Números Racionais, Decimais e Periódicos
Podemos escrever os números racionais assim:
Os números racionais são os que podem ser escritos na forma a/b, sendo a e b números inteiros e b≠0.
Lembre-se a/b = a:b
No vídeo abaixo temos muitos exemplos de números Racionais incluindo os números periódicos que são definidos por frações geratriz!
Os números racionais, decimais e periódicos podem também ser representados na forma de um número decimal, ou seja números com vírgula.
Exemplo: 1/2 =0,5 ; 4/9 = 0,4444.. ; 3/5 = 0,6 etc…
Veja que as chamadas dizimas periódicas também serão consideradas números racionais. Elas sempre poderão ser escritas e definidas por uma fração (a/b), que chamamos de fração geratriz.
Vamos ver alguns exemplos de dizima periódica:
Qual a fração geratriz do número racional x = 0,7777 …
Primeiramente vamos multiplicar x poe 10, em ambos os lados da igualdade:
10.x = 10.0,777…
10.x = 7,777…
10.x = 7 + 0,777…
10.x = 7 + x
10.x – x = 7
9.x = 7
x = 7/9
Veja no vídeo acima alguns exemplos de frações geratriz de maior complexidade
Matemática para Enem e vestibular
Números Racionais, Decimais e Periódicos
Propriedade fundamental das frações:
Uma fração ordinária não se altera, se multiplicarmos o seu numerador e denominador, por um mesmo número diferente de zero.
Vamos dar um exemplo:
x / y = x . n / y . n sendo n ≠ 0.
Exemplo: 3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 = … , etc
Observações:
A – Quando o denominador de uma fração qualquer for igual a 10 ou múltiplo de 10 essa fração será conhecida como fração decimal.
Exemplos: 5/10; 98/10000
2 – Quando a fração (número racional) tiver o numerador igual a 100 teremos uma porcentagem (%) .
Exemplos:
– 34/100 = 34%
– 27/100 = 27%
– 5/100 = 5%
Alguns conceitos importantes para a fração x/y:
Se x < y, teremos uma fração própria! Exemplo 3/7
se x > y , teremos uma fração imprópria. Exemplo 8/7
Se x for um múltiplo de y, o resultado da divisão do número racional x/y será um número inteiro e a fração é dita aparente. Exemplo 12/4 = 3
Operações com números racionais, decimais e periódicos
a) Adição e subtração
Exemplos com numeradores iguais:
Exemplo com numeradores diferentes:
O primeiro passo é calcular o MMC dos denominadores: 7, 8 e 5
Agora dividimos o valor do MMC que é 280 pelos denominadores e multiplicamos pelo numerador.
Veja: 280 /7 = 40 e 40×32 = 1280. Por sua vez, 280 /8 = 35 e 35×19 = 665, bem como 280/5 = 56 e 56×23 = 1288.
b) Multiplicação
Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero.
A multiplicação obedece à seguinte regra geral:
Exemplo:
c) Divisão
Sejam os números racionais a/b e c/d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero.
Exemplo: Dividir 3/5 por 7/3
A regra é a seguinte: Devemos Copiar a primeira e fração como ela está e multiplicar pela fração de baixo invertida! Após efetuarmos a multiplicação em linha precisamos Simplificar, e encontrar uma fração irredutível.
III – Exercícios
1 – Calcular 2/3 de 60.
Resolução: 2/3 de 60 = (2/3) . 60 = (2.60)/3 = .120/3 = 40
Lembre-se o valor encontrado “40” também é um número racional, pois 40=40/1
2 – Calcular 4/5 : 2/7.
Resolução: 4/5 : 2/7 = (4/5).(7/2) = (4.7)/(5.2) = 28/10 = 14/5
3 – Calcular 1/5 de 1/4 de 20.
Solução: 1/5 de 1/4 de 20 = (1/5).(1/4) . 20 = (1.1.20) / (5.4) = 20 / 20 = 1
Lembre-se de trocar o “de” por vezes
4 – Calcular 25 % de 60.
Resolução: 25 % de 60 = (25/100) . 60 = (25.60) / 100 = 1500 / 100 = 15
Lembre-se para facilitar cálculos você poderá simplificar antes de multiplicar:
25 % de 60 = (25/100) . 60 =(1/4).60 = (1.60)/4 = 15
5 – Calcule 10 % de 50 %.
Resolução: 10% de 50 % = (10/100) . (50 / 100) = (10.50) / (100.100) = 500/10000. Cortando o zeros de cima com os de baixo temos: 5/100 = 1/20
6 – Calcule 9/5 de 0,252525..
Resolução: 9/5 de 0,252525 = (9/5).(25/100) = (9.25)/(5.100) (simplificando 25 por 5) = 9.5/100 = (simplificando o 5 e o 100 por 5) temos como resposta o número racional 9/20
