Identidades Trigonométricas
Identidades Trigonométricas
O que são identidades trigonométricas?
Identidades trigonométricas, dentro do capítulo de trigonometria, são equações que envolvem funções trigonométricas, e que tem por objetivo identificar a igualdade da função apresentada na direita com a função mostrada na esquerda da igualdade trigonométrica. Essas equações são usadas para simplificar expressões envolvendo as funções Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante e cossecante.
Serão válidas as identidades trigonométricas , desde que ambos os lados da igualdade sejam iguais, respeitando o domínio das funções envolvidas.
O curso Gênio da Matemática tem um capítulo inteiro de Trigonometria para você aprofundar esse e os demais assuntos da Matemática!
Como resolver identidade trigonométrica?
As identidades trigonométricas são resolvidas por meio de demonstrações usando as fórmulas conhecidas da trigonometria.
Será considerada uma identidade quando, nesse desenvolvimento, obtivermos o mesmo valor ou a mesma função nos dois lados da igualdade.
Usamos algumas técnicas bem simples que irão facilitar muito os cálculos.
A primeira delas é transformar todas as funções para seno e cosseno. Dessa forma poderemos simplificar as expressões.
Também poderemos optar por trabalhar somente um lado da igualdade até que apareça a identidade trigonométrica.
O quadro abaixo tem todas as transformações que precisaremos executar nesse tipo de problema.
Procure transformar as expressões que estão em azul nas que estão em vermelho. Após esse passo simplifique ao máximo e identifique se há identidade trigonométrica
A função Secante é a inversa da função cosseno
sec (x) = 1
cos (x)
A função Cossecante é a inversa da função Seno
cossec (x) = 1 /sen (x)
A função Cotangente é a inversa da função Tangente
cotg (x) = 1 / tg (x) ou cotg (x) = cos (x) / sen (x)
A partir das relações fundamentais, podemos gerar novas relações de que serão fundamentais para o nosso estudo de Trigonometria.
Vamos a elas:
1ª relação decorrente:
Seja a relação fundamental sen²(x) + cos²(x) = 1.
Quando dividimos a função inteira por cos²(x) temos:
sen² (x) + cos² (x) = 1
cos² (x) cos² (x) cos² (x)
Logo:
tg² (x) + 1 = sec² (x)
ou
sec² (x) = 1+ tg² (x)
2ª relação decorrente:
Com a mesma relação fundamental da trigonometria sen²(x) + cos²(x) = 1, dividimos toda relação por sen²(x).
sen² (x) + cos² (x) = 1
sen² (x) sen² (x) sen² (x)
1 + cotg² (x) = cossec² (x)
ou
cossec² (x) = 1 + cotg² (x)
Usamos as funções trigonométricas, as relações fundamentais da trigonometria, as relações decorrentes e as funções do arco duplo para solucionar as equações de identidades trigonométricas .
Exemplo de funções com arco duplo
sen (2x) = 2 . sen (x) . cos (x)
cos (2x) = cos² (x) – sen² (x)
tg (2x) = 2. tg (x)
1 – tg² x
Exemplos
3) sen2x cos x⋅tg x = sen x
Aulas no nosso canal do YouTube
[Aula 02] Relação Fundamental e Funções Trigonométricas
[Aula 03] Redução ao Primeiro Quadrante
[Aula 04] Período, Domínio e Imagem das Funções Trigonométricas
| 01) sen2x + cos2x = 1 | 02) 1 + tg2x = sec2x = 1/cos2x |
| 03) 1 + cotg2x = cosec2x = 1/sen2x | 04) sen (-x) = -sen x |
| 05) cos (-x) = cos x | 06) tg (-x) = -tg x= -senx/cosx |
| 07) cosecx = 1/senx | 08) secx = 1/cosx |
| 09) cotgx = cosx/senx | 10) tgx = senx/cosx |
| 11) sen(a±b) = sena.cosb±cosa.senb | 12) cos(a-b) = cosa.cosb+sena.senb |
| 13) tg(a+b) = (tga+tgb)/(1+tga.tgb) | 14) tg(a-b) = (tga-tgb)/(1+tga.tgb) |
| 15) 1-cos2x= sen2x | 16) 1-sen2x= cos2x |
| 17) sen 2x = 2 sen x.cos x | 18) cos 2x = cos2x – sen2x = 1- 2 sen2x |
| 19) cos2x = (1+cos2x)/2 *ident 18 | 20) sen2x= (1-cos2x)/2 *ident 18 |
| 21) tg2x = 2tgx/(1-tg2x) | 22) tgx/2 = (1-cosx)/senx = senx/(1+cosx) |
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