Fórmula de Bhaskara e a Mentira Contada
Erradamente, nos anos 60, nós Brasileiros atribuímos à Bháskara, que nasceu na Índia no século X, a criação da Fórmula Bhaskara, que é muito usada para determinar raízes de uma equação do 20 grau. Ela foi desenvolvida por François Viète
Um pouco da História da Fórmula de Bhaskara
Antes disso temos relatos históricos com provas, de que foram conhecidos problemas que recaem em equações de grau 2 desde a época dos babilônios, há quase 4 mil anos atrás ou 2000 anos aC.
Os antigos babilônios gravavam seus textos e cálculos em placas de barro usando cunhas de madeira para imprimir os símbolos em relevo. Esse tipo de escrita foi chamado de escrita cuneiforme.
O povo babilônico tinha um bom conhecimento de álgebra, e conseguiam resolver seus problemas por métodos semelhantes aos que conhecemos hoje pelo método de completar quadrados.
Ainda não havia o conhecimento de raízes negativas. Só surgiu na Grécia século XVIII, onde a filosofia era bastante estudada e a matemática era estudada de forma filosófica.
Fórmula Bháskara
Muitos matemáticos, durante os séculos, ajudaram na construção da famosa fórmula algébrica, conhecida por nós, mas foi só no século XIV que o matemático François Viète introduziu uma escrita algébrica para a equação que permite calcular duas raízes do polinômio de segundo grau.
Euclides, o pai da geometria, resolvia equações do segundo grau usando métodos geométricos.
No século III dC, Diofanto começou a resolver equações usando símbolos.
François Viète
No Museu Britânico encontram-se algumas tábuas babilônicas feitas de argila onde estão escritos 36 problemas, nessas tábuas temos tentativas da solução de uma equação do segundo grau.
Muitos dos problemas que foram encontrados nos tabletes dos babilônios consistiam em determinar dois números conhecendo a soma e o produto deles; ou em encontrar os lados de um retângulo conhecendo o perímetro e a área.
Da mesma forma, podemos perguntar aos alunos de hoje, que usam a Fórmula de Bháskara, quais seriam as medidas (aproximadas) de um retângulo de 40 cm de perímetro e 100 cm2 de área.
Os babilônios, naturalmente, não tinham fórmulas para solucionar esses problemas, mas conheciam “receitas” para resolvê-los. Essas receitas conhecidas pelos babilônios são equivalentes à fórmula de resolução da equação do 2° grau que conhecemos hoje, mas não sabemos como eles as descobriram.
Fórmula de Bháskara
Fórmula de Bhaskara
Tablete de argila – Museu Britânico, Londres
Desde cerca de 1800 a.C. até o século XVI os matemáticos resolviam as equações do 2 grau seguindo as “receitas” iguais ou semelhantes às ou antigos babilônios.
O administrador público e advogado francês, François Viète, tinha como passatempo
a dedicação à Matemática. Apesar de não ser sua ocupação principal, Viète desenvolveu muitos trabalhos matemáticos relacionados à Trigonometria e à Álgebra.
Em uma de suas célebres frases, Viète diz:”Matemática não é apenas números, e sim envolve letras e toda a capacidade que o ser humano conseguir expressar.”.
Essa frase expressa um pouco a ideia que ele teve no final do século XVI, de representar
por letras do início do alfabeto os coeficientes da equação do 2° grau.
Somente depois disso, apareceu a fórmula que conhecemos hoje para a resolução desse tipo de equação, a famosa fórmula de Bhaskara
Vamos então saber, como François Viète chegou na “Fórmula de Bhaskara” para o cálculo das raízes algebricamente:
Fórmula de Bhaskara
A equação do segundo grau apresenta a seguinte estrutura com a≠0:
ax2+bx+c=0
isolando a variável x de um lado e o termo independente do outro, como fazemos com a equação do 10 grau temos:
ax2+bx=−c
Multiplicando ambos os lados da equação por 4a, temos:
4a(ax2+bx)=−c(4a)
Então ficamos com:
4a2x2+4abx=−4ac
Ora, note que podemos indicar o termo 2ax em função da seguinte maneira:
(2ax) 2+2b(ax)=−4ac
Usando o conhecimento do produto notável, adicionamos o valor de b2 em ambos os lados:
(2ax)2+2b(ax)+b2 = b2−4ac
Transformamos o trinômio no quadrado da soma e chegamos a equação:
(2ax+b) 2=b2−4ac
Extraímos a raiz quadrada em ambos os lados:
2ax+b=±√(b2−4ac)
Isolando o valor de x chegaremos a:
2ax=−b ± √(b2−4ac)
x=−b ± √(b2−4ac)/2a
Temos aqui a famosa Fórmula de Bhaskara! Mas não esqueça que essa dedução algébrica foi criada por François Viète
Alguns autores utilizam o artifício de calcular separadamente o valor da raiz chamando de delta: b2−4ac:
Fórmula de Bhaskara usando delta
x=−b± √Δ / 2a
Δ=b2−4ac
Concluindo a equação do segundo grau terá sempre duas respostas x´ e x´´, já que a raiz de Δ poderá assumir dois valores!
Para ilustrar mostraremos também como os Chineses encontravam soluções para essas equações. O método era chamado de fan-fan e surgiu no século XIII. Nem de perto possui a eficiência e a facilidade da nossa Fórmula de Bhaskara.
Para resolver tínhamos que pensar no valor d e acrescentar o número 2. Repetindo essa operação até que o número não se altere.
Vamos dar um exemplo prático:
Sabendo-se que área de um quadrado menos o seu lado dá vinte. Quanto mede o lado do quadrado ?
Temos então a equação x2 – x = 20
A solução deveria ser x = 2 + d
d representa a diferença entre a solução verdadeira (x) e a solução arbitrada (2). Repetindo-se até encontrar a resposta
Então temos a equação x2 – x = 20
Trocando x por 2+d, temos:
(2+d)2 – (2+d) = 20, resolvendo:
4 + 4d + d2 – 2 – d = 20, chegamos a
d2 + 3d = 18
Sabemos que a solução aproximada do segundo tentativa será formada dividindo o número encontrado pela soma dos coeficientes do quadrado e do comprimento.
Ficamos com:
x = 2 + (18) / (1 + 3) = 6,5
repetimos o processo com o valor 6,5 logo:
x = 6,5 + d
(6,5 + d)2 – (6,5 + d) = 20
42,25 + 13d + d2 – 6,5 – d = 20
d2 + 12d = -15,75
E assim chegamos a:
x = 6,5 + (-15,75) / (1 + 12) = 5,28
Novamente Repetindo o processo:
(5,28 + d)2 – (5,28 + d) = 20
27,87 + 10,56d + d2 – 5,28 – d = 20
d2 + 9,56d = -2,59
Novamente Repetindo o processo:
x = 5,28 + (-2,59) / (1 + 9,56) = 5,03
Novamente Repetindo o processo:
(5,03 + d)2 – (5,03 + d) = 20
25,03 + 10,06d + d2 – 5,03 – d = 20
d2 + 9,06d = -0,27
Novamente Repetindo o processo:
x = 5,03 + (-0,27) / (1 + 9,06) = 5
Novamente Repetindo o processo:
(5 + d)2 – (5+d) = 20
25 + 10d + d2 – 5 – d = 20
d2 + 9d = 0
E finalmente ….ufa!
x = 5 + 0 / (1+9) = 5
Não há mais necessidade de continuar, pois o valor ficou igual ao valor anterior e não será mais modificado
Como vimos fan-fan é um método extremamente trabalhoso, mas isso não tira o mérito dos chineses que chegaram nessa engenharia algorítmica de grande complexidade, e estamos falando no ano de 200 a.C., onde não ainda não havia muitos conhecimento matemáticos!
Referências Bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
ROONEY, Anne. A História da Matemática. São Paulo: Editora M. Books, 2012.
