Equações Exponenciais

Chama-se equação exponencial toda equação que contém variáveis no expoente.

Essas expressões algébricas, que são chamadas de equações exponenciais, possuem um sinal de igualdade, assim como em todo tipo de equação.

Para resolver um equação exponencial temos que ter em mente o objetivo de  determinar o valor de “X” que se encontra sempre no expoente de uma determinada base numérica.

Nas equações exponenciais  a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de 1º membro e a expressão situada à direita da igualdade de 2º membro

 Exemplo:                         9^x   =    81^x+3 

                                  1º membro         2º membro

Onde  9^x   é o primeiro termo e 81^x+3  é o segundo termo  

Leia também aqui

1. função exponencial – Parte 1
2. Como construir Gráficos da função exponencial

Equação Exponencial do Primeiro Caso

Nas equações exponenciais do primeiro caso, poa resolvê-la demos procurar sempre identificar a base que sempre será a mesma para os dois membros da mesma.

          9^x   =    81^x+3           Temos que fatorar ambos os lados da igualdade

           3^2x   =    3^4(x+3)       Nessa equação a base é 3 e ela deve ser eliminada

           2x = 4x + 12              Igualamos apenas os expoentes

           2x = -12                       Isolando o valor de X temos:

             x = -6

Outro exemplo de equação exponencial:

 8^x + 28 = 32   Apesar de termos 3 termos, esse também é o primeiro caso de equação exponencial pois:

8^x  = 32  – 28        Ao fazer a diferença entre os números 32 e 28

      8^x  = 4                      ficamos com apenas 2 termos

     2^3x  = 2^{2                  fatorando as bases 2 e 4}

      3x =2                                  isolando o valor de x temos:

     x=2/3

Assista a vídeo aula de equação exponencial:

Equação Exponencial do Segundo Caso

No segundo caso temos uma equação exponencial com mais de dois termos e o primeiro passo é encontrar o artifício que sempre será um número elevado ao expoente x.   Ex:  _{2^x  =M}

Exemplo:

₄^x _{– 5. 2}^x _{+ 4 = 0}         

₂^2x _{– 5. 2}^x _{+ 4 = 0          Fatorando o 4} 

_{2^x  =M                                  criando o artifício}

_M² _{– 5. M + 4 = 0            calculando o valor de M}

_{M1 = 1   e M2 =4}

_{2^x  =M       2^x  = 1    2^x  = 2⁰             X1=0}

_{2^x  =M     2^x  = 4         2^x  = 2²             X2=2}

Raízes    {2 ; 4}

Equação Exponencial do terceiro Caso

No terceiro caso temos uma equação exponencial com mais de dois termos, porém aparece agora uma soma no expoente.

Exemplo:

 ₃^x  _{+  3}^x-1  _{–   3}^x-2  _{=   11}

 ₃^x   _{+   3}^x _{. 3^-1   –   3^x .3^-2   =   11           Abrindo a base 3 com soma no expoente}

 ₃^x   _{+   3}^x _{/ 3¹   –   3^x /3²   = 11}

 ₃^x   _{+   3}^x _{/ 3  –   3^x / 9 = 11}    

_{Criando o artifício        3^x  =M}    

M + M/3 – M /9 = 11

(9M + 3M – M)/9 =11

11M = 99

M = 9

Substituindo o valor encontrado de M no artifício

_{3^x  =M}      

_{3^x  = 9}    

_{3^x  = 3²}      

x = 2

Testes de Vestibular – Equação Exponencial 

1º Caso  (com apenas dois termos)

1. (1/8)^x = 128                 R: -7/3

2.    1/125 = 625^{x              R: -3/4}

3. 8^{x – 9} = 16^{x / 2               R: 27}

4.    0,2^x = (1/125)^{x – 6}                R: 9

 2º Caso  (mais de dois termos sem somatório no expoente)

5 .  8.2^x + 4 – 4 . 2^x = 68           R: 4

6.   2^2x – 5 . 2^x + 4 = 0              R: 0 e 2

7.  9^x + 3 = 4 . 3^x                           R: 0 e 1

8. 5^10x – 10 . 5^5x – 5 = -30       R: 1/5

3º Caso (mais de dois termos com somatório no expoente)

9.   3^{x + 1} + 3^{x – 2} – 3^{x – 3} + 3^{x – 4} = 750         R: 5

10. 3^{x + 2} – 27 = 6 . 3^x             R:  2

11. Sabendo que 3^x – 3^{2 – x} = 8, calcule o valor de (15 – x²)     R: 11

12.  3^{x – 2} . 5^2x = 15^{3x + 1} . 3^-1

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