Aqui vamos aprender a resolver uma equação do 2º grau, sem usar a famosa fórmula de Bhaskara, e o melhor de uma forma fácil e rápida. Essa forma de resolver Equação do 2° Grau por Soma e Produto  pode ser realizada em poucos segundos, conforme a prática.

Uma equação do segundo grau sempre terá a estrutura ax² + bx + c = 0, com a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0. Temos duas formas de encontra as raízes: 

• Por Bhaskara 
• Por soma e produto (Relações de Girard)

Na realidade o que faremos é encontrar as duas raízes da equação, ou seja nosso objetivo será achar os zeros da função. Essas raízes são os valores de x, que ao substituir na equação transforma o somatório igual a zero!

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Como encontrar as raízes (valores de x₁ e x₂) da equação 2 grau

Como resolver uma equação do 2° grau por soma e produto

 Sabemos que a equação do 2^o grau tem o formado  ax² + bx + c = 0. Podemos utilizar esse método para equações do 2^o grau completas ou incompletas.

Esse método é principalmente indicado quando as raízes da equação são números inteiros. Fundamenta-se nas seguintes relações entre as raízes:

x₁ + x₂ = -b/a

x₁.x₂ = c/a

Sendo, x₁ e x₂: raízes da equação do 2º grau e a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau

Primeiramente iremos mostrar como usar a soma e produto sempre que a=1

Como resolver uma equação do 2° grau por soma e produto

1) Para a=1

x² – (soma)x + (produto) = 0

Observe que o produto sempre será o termo independente C para a=1!

Produto = x₁ . x₂ = c

Observe que a soma sempre será o valor que multiplica x, com sinal trocado!

Soma = x₁ + x₂ = -b

Vamos a técnica:

Exercícios Resolvidos

Encontre as raízes das equações a seguir por soma e produto

1)  x² – 5x + 6 = 0

Antes de querer resolver de cabeça precisamos praticar com anotações, depois tente resolver sem lápis e papel.

1^o passo : anote os valores dos coeficientes da equação:

• a = 1;
• b = -5;
• c = 6;

2⁰ Passo: aplique as fórmulas  definidas anteriormente, começando sempre pelo produto:

Use a pergunta: quais são os dois números que multiplicados entre si resulta no valor de c  da equação ax² + bx + c = 0?

Como a equação é x² – 5x + 6 = 0, então: x₁.x₂ = 6

Números candidatos para o produto:

• 2 . 3 = 6

• 1 . 6 = 6

• (-1) . (-6) = 6

Então as possíveis raízes são: 2 e 3, 1 e 6 ou -1 e -6

A confirmação sempre virá pela Soma:

Soma = x₁ + x₂ = -b/a = -b/1 = -b

x² – 5x + 6 = 0    o valor da soma é 5, pois:

x₁ + x₂ = -b = -(-5) = 5

Conclusão as raízes deverão ser: 2 e 3 pois:

2 + 3 = 5

1 + 6 = 7

(-1) + (-6) = -7

Solução: {2, 3}

Como resolver uma equação do 2° grau por soma e produto

2) Resolva a equação x² – 7x + 12 = 0 através da soma e produto.

  x² – 7x + 12 = 0

Produto = c = 12

Prováveis duplas de raízes cujo produto seja igual a 12

• 1.12 =12  ; -1.(-12)
• 2.6 = 12 e;-2.(-6)
• 3.4 =12 e -3.(-4)

Como a soma = -b = -(-7) =7 então as raízes deverão ser: -3 e -4

Solução = {-3 e -4}

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Como resolver uma equação do 2° grau por soma e produto

1) Para a≠1

ax² + bx + c  = 0

A técnica usada é a mesma, porém agora o valor de  a≠1 então:

Soma:     x₁ + x₂ = -b/a

Produto:   x₁.x₂ = c/a

3) Resolva a equação 2x² – 6x – 8 = 0 através da soma e produto.

1^o passo : anote os valores dos coeficientes da equação:

• a = 2;
• b = -6;
• c = -8;

2⁰ Passo: aplique as fórmulas  definidas anteriormente, começando sempre pelo produto:

Use a pergunta: quais são os dois números que multiplicados entre si resulta no valor de c/a  da equação ax² + bx + c = 0?

Como a equação é 2x² – 6x – 8 = 0, então

Produto = -8/2 = -4

Como x₁.x₂ = 4, as prováveis duplas de raízes cujo produto seja igual a 4 é

• 1.2
• -1.(-2)
• 2.2
• -2.(-2)

Agora vamos buscar a confirmação pela soma:  2x² – 6x – 8 = 0,

Soma = -b/a = -(-6)/2 = 3

Como a soma deve ser 3, o par de raízes só poderá se 1 e 2!

Solução: {1 , 2}

Como resolver uma equação do 2° grau por soma e produto

Exercícios propostos

1) A função f(x) = x² + 8x – 9 é do segundo grau, porque o grau do maior dos monômios que compõe sua regra é 2. Além disso, essa função está escrita na forma f(x) = ax² + bx + c. Sabendo disso, qual é a soma das raízes da função apresentada acima?

a) 8

b) – 8

c) 1

d) – 9

e) 10

Resolução

sendo x² + 8x – 9 

a= 1, b = 8 e c = -9

x1 + x2 = -b/a = -8/1 = -8

Obs: as  raízes são: 1 e  – 9  e a soma é – 8

2) Determine a equação do 2º grau, com a = 1, que possui como raízes os números 2 e – 5.
Resolução: 
Soma
S = x₁ + x₂ → 2 + (–5) → 2 – 5 → – 3

Produto
P = x₁ .  x₂₌  2 . (–5) → – 10

x² – Sx + P = 0

x² – (–3)x + (–10)

x² + 3x – 10 = 0

A equação procurada é x² + 3x – 10 = 0.

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