Como Resolver uma Inequação Exponencial [Vídeo]

Antes de aprender como resolver uma inequação exponencial precisamos saber o que é uma inequação exponencial?

Equação é sempre uma igualdade onde a incógnita “x” está no expoente, e inequação é uma inigualdade onde a incógnita “x” também está no expoente
Exemplo:
4^{x + 5} > 32

Os cálculos matemáticos evoluíram muito  a partir do século XVII devido ao surgimento do cálculo exponencial e os dos logaritmos. Muitas outras ciências também puderam de desenvolver devido ao surgimento desses estudos.

Antes vamos fazer uma pequena revisão sobre a potenciação:

Propriedades e operações com potência de mesma base

A resolução da Inequação exponencial é baseada na interpretação gráfica:

Caso 1

Veja que ao aumentarmos o valor de x, aumentamos o valor da função y :

           a^x2>a^x1 <=> x₂>x₁ 

Ou seja podemos “cortar as bases” de uma inequação, com 0<base<1  e inverter a desigualdade dos expoentes.

Caso 2

Veja que ao aumentarmos o valor de x, diminuímos o valor da função y :

                         a^x2<a^x1 <=> x₂>x₁ 

Ou seja podemos “cortar as bases” de uma inequação, com 0<base<1  e inverter a desigualdade dos expoentes

Como Resolver uma Inequação Exponencial

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Após igualarmos a base precisamos apenas identificar o intervalo da mesma e “cortá-la”. Não usaremos a base em nossos cálculos, somente os expoentes da mesma.

Caso 1

f(x) = a^x somente é crescente quanto a > 1.

 a > 1, como a função é crescente teremos:

a^m > aⁿ   então   m > n

Veja que as desigualdades possuirão o mesmo sentido

Caso 2

Caso 0 < a < 1,  f(x) = a^x é decrescente.

Sendo 0 < a < 1, como a função é decrescente teremos:

a^m > aⁿ   então   m < n

Veja que as desigualdades possuirão sentidos opostos

Como resolver uma inequação exponencial na prática

• Caso a > 1, mantenha o sinal original.
• Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.

Vamos ver em exemplos práticos.

Exemplo 1 

2^x ≥ 64

Fatorando o 64 temos:    64 = 2⁶. logo:

2^x ≥ 2⁶  → Para bases iguais e maior que 1 cortamos a base e mantemos o sina da desigualdade para os expoentes.

x ≥ 6

S = {x ∈ R | x ≥ 6}

Como resolver uma inequação exponencial na prática

Exemplo 2 

(1/2)^x+2 > (1/2)²⁴

Para bases entre 0 e 1 cortamos a base e .trocamos o sinal da desigualdade para os expoentes

x + 2 <  24

x  <  24 -2

x  <  22

S = {x ∈ R | x <  22}

Como resolver uma inequação exponencial na prática

Exemplo 3

4^x + 4 > 5 . 2^x

Vamos criar um artifício e trocar o 4^x por 2^2x .Como 2^2x é o mesmo que (2^x)². podemos escrever:

(2^x)² + 4 > 5 . 2^x

trocando 2^x pela letra y

y² + 4 > 5y

y² – 5.y + 4 > 0

chegamos em uma inequação do segundo grau. Para resolvê-la precisamos retornar ao capítulo de constrição de gráficos da função de segundo grau e entender como fica os sinais da função nesse caso. No vídeo desse post temos uma breve explicação.

As raízes são: y₁ = 1 e y₂ = 4. Temos a da função do segundo grau positivo a > 0, e a concavidade da parábola voltada para cima. Veja o gráfico:

Logo o intervalo é:     y < 1 ou y > 4.

Agora voltamos para a variável x:

y = 2^x

2^x < 1      →     2^x <  2⁰     →     x < 0      →          lembre-se que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número, e que todo número elevado a zero é igual a 1.

2^x > 4     →    2^x > 2²        →          x > 2.

S = {x ∈ R | x < 0 ou x > 2}