Certamente esse é um dos conteúdos mais cobrado em provas e o mais errado pelos alunos. Como calcular o algarismo das unidades de um número, de potência elevada, deve ser feito pelos usando os padrões de potência, que se evidenciam em todas as bases.
Sumário
Como calcular o algarismo das unidades
Vamos dar um exemplo de questão que envolve esse conteúdo:
Determine o Algarismo da unidade da soma: 244 + 245 +246
Em primeiro lugar devemos saber que nunca iremos resolver a potência para efetuar a soma. Precisamos saber unicamente qual é o último algarismo da potência, ele será o algarismo da unidade, e simplesmente somar esses 3 números encontrados.
Padrões de Potência
Vamos embasar esse cálculo?
Vejam por exemplo o que acontece com a base 2
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16
Observe que a partir do expoente 4, há uma repetição do algarismo das unidades, e a sequência é
2, 4, 8, 6. Ela se repete se de 4 em 4.
25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256
Novamente a sequência (2, 4, 8, 6), do último algarismo (da unidade) volta a se repetir. veja abaixo:
29 = 512 210 = 1024 211 = 2048 212 = 4096
Então fica fácil prever um padrão para esse algarismo das unidades e para tal, basta dividir o expoente por 4 e verificar o resto da divisão.
Dividimos por 4 porque a sequência se repete de 4 em 4!
Como saber qual o algarismo das unidades da potência 244 ?
Dividindo 44:4 temos o valor 11. O resto da divisão do expoente 44 por 4 é igual a zero.
Veja que todos os expoentes, da nossa tabela, da potência 2, que apresentam resto zero na divisão por 4, termina sempre em 6. São eles: 24 = 16 , 24 = 16 e 212 = 4096
Logo 244 também terminará em 6!
Padrões de Potência
Veja no vídeo abaixo, como calcular o algarismo da unidade de todas as bases:
Como saber qual o algarismo das unidades da potência 245 ?
Dividindo 45:4 também teremos como resultado o valor a 11, porém o resto agora é 1!
Veja que todos os expoentes da nossa tabela da potência 2, que apresentam resto = 1, na divisão de seu expoente por 4, terminam em 2. São eles 21 = 2 , 25 = 32 e 29 = 512
Logo 245 também terminará em 2!
Padrões de Potência
Como saber qual o algarismo das unidades da potência 246 ?
Dividindo 46:4 também é igual a 11 mas tem resto igual a 2.
Veja que todos os expoentes da nossa tabela da potência 2, que apresentam resto = 2, na divisão de seu expoente por 4, terminam em 4. São eles 22 = 4 , 26 = 64 e 210 = 1024
Logo 246 também terminará em 4!
Então vamos voltar a questão inicial:
Determine o Algarismo da unidade da soma: 244 + 245 +246
Nessa soma teremos 3 números gigantescos que terminam em:
244 = …..6
245 = …..2
246 = …..4
Ao somarmos esses 3 números gigantes …6 + …2 + …4, veremos que o resultado da som terminará em 2, e esse é o algarismo das unidades.
Pois 6+2+4=12 (termina em 2)
Resposta: 2
Veja na tabela abaixo os padrões de potência de cada base:
| Base 1: sempre termina em 1 11 = 1 12 = 1 13 = 1 14 = 1 15 = 1 16 = 1 17 = 1 18 = 1 19 = 1 110 = 1 111 = 1 112 = 1 | Base 2: sempre termina em 2, 4, 8 ou 6 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024 211 = 2048 212 = 4096 | Base 3: sempre termina em 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729 37 = 2187 38 = 6561 39 = 19683 310 = 59049 311 = 177147 312 = 531441 |
| Base 4 sempre termina em: 4 ou 6 41 = 4 42 = 16 43 = 64 44 = 256 45 = 1024 46 = 4096 47 = 16384 48 = 65536 49 = 262144 410 = 1048576 411 = 4194304 412 = 16777216 | Base 5: sempre termina em: 5 51 = 5 52 = 25 53 = 125 54 = 625 55 = 3125 56 = 15625 57 = 78125 58 = 390625 59 = 1953125 510 = 9765625 511 = 48828125 512 = 244140625 | Base 6: sempre termina em: 6 61 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 65 = 7776 66 = 46656 67 = 279936 68 = 1679616 69 = 10077696 610 = 60466176 611 = 362797056 612 = 2176782336 |
| Base :7 sempre termina em 7, 9, 3 ou 1 71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2401 75 = 16807 76 = 117649 77 = 823543 78 = 5764801 79 = 40353607 710 = 282475249 711 = 1977326743 712 = 13841287201 | Base :7 sempre termina em 7, 9, 3 ou 1 81 = 8 82 = 64 83 = 512 84 = 4096 85 = 32768 86 = 262144 87 = 2097152 88 = 16777216 89 = 134217728 810 = 1073741824 811 = 8589934592 812 = 68719476736 | Base : 9 sempre termina em 9 ou 1 91 = 9 92 = 81 93 = 729 94 = 6561 95 = 59049 96 = 531441 97 = 4782969 98 = 43046721 99 = 387420489 910 = 3486784401 911 = 31381059609 912 = 282429536481 |
| Base: 10 sempre termina em zero 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 105 = 100000 106 = 1000000 107 = 10000000 108 = 100000000 109 = 1000000000 1010 = 10000000000 1011 = 100000000000 1012 = 1000000000000 | Base :11 sempre termina em 1 111 = 11 112 = 121 113 = 1331 114 = 14641 115 = 161051 116 = 1771561 117 = 19487171 118 = 214358881 119 = 2357947691 1110 = 25937424601 1111 = 285311670611 1112 = 3138428376721 | Base: 12 sempre termina em 2, 4, 8 ou 1 121 = 12 122 = 144 123 = 1728 124 = 20736 125 = 248832 126 = 2985984 127 = 35831808 128 = 429981696 129 = 5159780352 1210 = 61917364224 1211 = 743008370688 1212 = 8916100448256 |
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