Sistema Sexagesimal: graus, minutos, segundos e horas

O sistema sexagesimal é um sistema de medida baseado na divisão em 60 partes. Ele aparece principalmente em dois contextos muito importantes da Matemática:

• na medida de ângulos;
• na medida de tempo.

Embora os dois sistemas utilizem a base 60, é importante observar que as unidades possuem significados diferentes.

1. Sistema sexagesimal de graus

Na medida de ângulos:

$$1^{\circ }={60}^{\mathrm{\prime }}$$

e

$$1^{\mathrm{\prime }}={60}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$

Portanto:

$$1^{\circ }={3600}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$

Lemos:

• $1^\circ$: 1 grau;
• $1′$: 1 minuto;
• $1”$: 1 segundo.

Por exemplo:

$${25}^{\circ }{20}^{\mathrm{\prime }}{30}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$

significa:

25 graus, 20 minutos e 30 segundos.

2. Conversões no sistema de graus

De graus para minutos

Como:

$$1^{\circ }={60}^{\mathrm{\prime }}$$

para transformar graus em minutos, multiplicamos por 60.

Exemplo:

$$4^{\circ }=4\cdot {60}^{\mathrm{\prime }}={240}^{\mathrm{\prime }}$$

Logo:

$$4^{\circ }={240}^{\mathrm{\prime }}$$

De minutos para segundos

Como:

$$1^{\mathrm{\prime }}={60}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$

temos:

$$7^{\mathrm{\prime }}=7\cdot {60}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={420}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$

Logo:

$$7^{\mathrm{\prime }}={420}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$

De graus para segundos

Como:

$$1^{\circ }={3600}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$

então:

$$3^\circ = 3 \cdot 3600” = 10800”$$

3. Soma de graus, minutos e segundos

Para somar medidas no sistema sexagesimal, organizamos as unidades:

$$\begin{array}{r} 25^\circ\ 20’\ 50”\\ +50^\circ\ 35’\ 00”\\ \hline \end{array}$$

Somamos primeiro os segundos:

$$50”+0”=50”$$

Depois os minutos:

$$20’+35’=55′$$

E, finalmente, os graus:

$$25^\circ+50^\circ=75^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{75^\circ 55′ 50”}$$

Quando a soma dos segundos ultrapassa 60

Considere:

$$35^\circ 48′ 45” + 12^\circ 25′ 30”$$

Somando os segundos:

$$45”+30”=75”$$

Como:

$$75”=1’+15”$$

ficamos com:

$$15”$$

e acrescentamos $1′$ aos minutos.

Agora:

$$48’+25’+1’=74′$$

Como:

$$74’=1^\circ14′$$

ficamos com $14′$ e acrescentamos $1^\circ$.

Finalmente:

$$35^\circ+12^\circ+1^\circ=48^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{48^\circ14’15”}$$

4. Diferença ou subtração de graus

Para subtrair medidas sexagesimais, começamos pelos segundos.

Exemplo:

$$50^\circ 19′ 20” – 19^\circ 20′ 15”$$

Nos segundos:

$$20”-15”=5”$$

Nos minutos:

$$19′-20′$$

Não é possível fazer essa subtração diretamente. Então retiramos $1^\circ$ dos $50^\circ$.

Como:

$$1^\circ=60′$$

temos:

$$50^\circ19’=49^\circ79′$$

Agora:

$$79′-20’=59′$$

E:

$$49^\circ-19^\circ=30^\circ$$

Logo:

$$\boxed{30^\circ59’5”}$$

5. Multiplicação de graus

Para multiplicar uma medida angular por um número natural, multiplicamos cada unidade.

Exemplo:

$$12^\circ 35′ 40” \times 3$$

Começamos pelos segundos:

$$40”\times3=120”$$

Como:

$$120”=2’0”$$

ficamos com $0”$ e acrescentamos $2′$.

Agora:

$$35’\times3=105′$$

Somando os $2′$:

$$105’+2’=107′$$

Como:

$$107’=1^\circ47′$$

ficamos com $47′$ e acrescentamos $1^\circ$.

Finalmente:

$$12^\circ\times3=36^\circ$$

e:

$$36^\circ+1^\circ=37^\circ$$

Resultado:

$$\boxed{37^\circ47’00”}$$

6. Divisão de graus

Para dividir uma medida angular, podemos trabalhar começando pela maior unidade e transformar os restos.

Exemplo:

$$48^\circ 30′ \div 2$$

Dividimos os graus:

$$48^\circ\div2=24^\circ$$

Como não há resto, dividimos os minutos:

$$30’\div2=15′$$

Logo:

$$\boxed{24^\circ15′}$$

Exemplo com resto

Considere:

$$25^\circ\div2$$

Dividindo:

$${25}^{\circ }÷2={12}^{\circ }$$

com resto de $1^\circ$

Transformamos o grau restante em minutos:

$$1^\circ=60′$$

Portanto:

$$60’\div2=30′$$

Resultado:

$$\boxed{12^\circ30′}$$

7. Sistema sexagesimal de horas

O sistema sexagesimal também aparece na medida do tempo.

Nesse caso:

$$1h=60min$$

e:

$$1min=60s$$

Portanto:

$$1h=3600s$$

As unidades são:

• $h$: horas;
• $min$: minutos;
• $s$: segundos.

Por exemplo:

$$3h\ 40min\ 30s$$

representa:

3 horas, 40 minutos e 30 segundos.

8. Soma de horas, minutos e segundos

Considere:

$$2h\ 59min\ 50s$$

mais:

$$40min\ 30s$$

Somamos os segundos:

$$50s+30s=80s$$

Como:

$$80s=1min20s$$

ficamos com $20s$ e acrescentamos $1min$.

Agora:

$$59min+40min+1min=100min$$

Como:

$$100min=1h40min$$

Finalmente:

$$2h+1h=3h$$

Resultado:

$$\boxed{3h40min20s}$$

9. Subtração de horas

Considere:

$$5h\ 20min\ 15s – 2h\ 45min\ 30s$$

Não podemos fazer:

$$15s-30s$$

Então retiramos $1min$ dos $20min$.

Como:

$$1min=60s$$

temos:

$$5h\ 19min\ 75s$$

Agora:

$$75s-30s=45s$$

Nos minutos:

$$19min-45min$$

Ainda não é possível. Retiramos $1h$ das $5h$.

Como:

$$1h=60min$$

ficamos com:

$$4h\ 79min\ 75s$$

Então:

$$79min-45min=34min$$

e:

$$4h-2h=2h$$

Logo:

$$\boxed{2h34min45s}$$

10. Multiplicação de horas

Exemplo:

$$2h\ 35min\ 40s \times 3$$

Segundos:

$$40s\times3=120s=2min$$

Minutos:

$$35min\times3=105min$$

Somando os $2min$:

$$107min=1h47min$$

Horas:

$$2h\times3=6h$$

Somando a hora obtida:

$$6h+1h=7h$$

Portanto:

$$\boxed{7h47min}$$

11. Divisão de horas

Considere:

$$5h\div2$$

Dividimos:

$$5h\div2=2h$$

com resto de $1h$.

Transformamos o resto em minutos:

$$1h=60min$$

Então:

$$60min\div2=30min$$

Resultado:

$$\boxed{2h30min}$$

12. Diferença entre o sistema de graus e o sistema de horas

Apesar de ambos serem sexagesimais, eles representam grandezas diferentes.

A lógica das operações é semelhante, mas não devemos misturar as unidades.

Por exemplo:

$$30^\circ 20′ 15”$$

é uma medida angular.

Já:

$$3h20min15s$$

é uma medida de tempo.

Questões objetivas resolvidas

Questão 1 — Soma de graus

Calcule:

$$25^\circ20’50”+50^\circ35′$$

a) $75^\circ55’50”$

b) $76^\circ55’50”$

c) $75^\circ56’50”$

d) $74^\circ55’50”$

Resolução

Somando:

$$50”+0”=50”$$
$$20’+35’=55′$$
$$25^\circ+50^\circ=75^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{75^\circ55’50”}$$

Resposta: a)

Questão 2 — Diferença de graus

Calcule:

$$50^\circ19’20”-19^\circ20’15”$$

a) $30^\circ59’5”$

b) $31^\circ1’5”$

c) $30^\circ1’5”$

d) $31^\circ59’5”$

Resolução

Como $19′<20′$ retiramos $1^\circ$:

$$50^\circ19’=49^\circ79′$$

Então:

$$79′-20’=59′$$
$$49^\circ-19^\circ=30^\circ$$E:

$$20”-15”=5”$$

Logo:

$$\boxed{30^\circ59’5”}$$

Resposta: a)

Questão 3 — Multiplicação de graus

Calcule:

$$12^\circ35’40”\times3$$

a) $36^\circ45’20”$

b) $37^\circ47′$

c) $37^\circ45’20”$

d) $36^\circ47′$

Resolução

Segundos:

$$40”\times3=120”=2′$$

Minutos:

$$35’\times3=105′$$

Somando os $2′$:

$$107’=1^\circ47′$$

Graus:

$$12^\circ\times3=36^\circ$$

Somando:

$$36^\circ+1^\circ=37^\circ$$

Portanto:

$$\boxed{37^\circ47′}$$

Resposta: b)

Questão 4 — Divisão de graus

Calcule:

$$25^\circ\div2$$

a) $12^\circ15′$

b) $12^\circ30′$

c) $13^\circ30′$

d) $12^\circ50′$

Resolução

Dividindo os graus:

$$25^\circ\div2=12^\circ$$

com resto de $1^\circ$

Convertendo:

$$1^\circ=60′$$

Então:

$$60’\div2=30′$$Logo:

$$\boxed{12^\circ30′}$$Resposta: b)

Questões objetivas sobre horas

Questão 5 — Soma de horas

Calcule:

$$2h59min50s+40min30s$$

a) $3h39min20s$

b) $3h40min20s$

c) $2h100min20s$

d) $4h40min20s$

Resolução

Segundos:

$$50s+30s=80s=1min20s$$

Minutos:

$$59min+40min+1min=100min$$

Como:

$$100min=1h40min$$

temos:

$$2h+1h=3h$$

Resultado:

$$\boxed{3h40min20s}$$

Resposta: b)

Questão 6 — Diferença de horas

Calcule:

$$5h20min15s-2h45min30s$$

a) $2h34min45s$

b) $3h25min45s$

c) $2h35min15s$

d) $3h34min45s$

Resolução

Como $15s<30s$ retiramos $1min$

$$20min=19min+60s$$Assim:

$$75s-30s=45s$$

Ainda precisamos transformar $1h$ em minutos:

$$5h20min=4h80min$$

Como já utilizamos $1min$ para os segundos:

$$4h79min75s$$

Então:

$$79min-45min=34min$$

e:

$$4h-2h=2h$$

Logo:

$$\boxed{2h34min45s}$$

                            Resposta: a)

Questão 7 — Multiplicação de horas

Calcule:

$$2h35min40s\times3$$

a) $6h105min120s$

b) $7h47min$

c) $7h35min40s$

d) $6h47min$

Resolução

Segundos:

$$40s\times3=120s=2min$$

Minutos:

$$35min\times3=105min$$

Somando:

$$105min+2min=107min=1h47min$$

Horas:

$$2h\times3=6h$$

Portanto:

$$6h+1h47min=\boxed{7h47min}$$

Resposta: b)

Questão 8 — Divisão de horas

Calcule:

$$5h\div2$$

a) $2h15min$

b) $2h30min$

c) $3h30min$

d) $2h50min$

Resolução

$$5h\div2=2h$$

com resto de:

$$1h$$

Transformando:

$$1h=60min$$

Então:

$$60min\div2=30min$$

Logo:

$$\boxed{2h30min}$$

Resposta: b)

Gabarito

Conclusão

O sistema sexagesimal exige atenção principalmente às conversões:

$$1^\circ=60′$$
$$1’=60”$$e, no sistema de horas:

$$1h=60min$$
$$1min=60s$$A principal regra para resolver operações é lembrar que, sempre que uma unidade atingir 60, ela deve ser convertida para a unidade imediatamente superior. Assim, 60 segundos formam 1 minuto, e 60 minutos formam 1 grau ou 1 hora, dependendo do sistema utilizado.