Dando continuidade às aulas sobre o que mais cai no Enem em Matemática, falaremos hoje sobre a função do segundo grau. Lembrando que essa aula complementa o assunto de funções.
Sumário
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Função do Segundo Grau: O que é e Como Funciona
A função do segundo grau é um dos conceitos mais importantes na matemática, especialmente quando se trata de álgebra. Ela é essencial tanto para os alunos do ensino médio quanto para aqueles que buscam compreender as bases da matemática aplicada. Neste artigo, vamos explicar o que é uma função do segundo grau, suas principais características e como resolvê-la de forma simples.
O que é uma Função do Segundo Grau?
A função do segundo grau é uma função polinomial que pode ser representada pela equação:
Onde:
- a, b e c são números reais.
- a ≠ 0 (caso contrário, a equação não seria mais do segundo grau).
Essa função é chamada de “quadrática” porque o termo que contém a variável
Características da Função do Segundo Grau
- Gráfico da Função (Parábola):
O gráfico de uma função do segundo grau é uma curva chamada parábola. Ela pode ser voltada para cima ou para baixo, dependendo do valor de a:- Se a > 0, a parábola abre para cima.
- Se a < 0, a parábola abre para baixo.
- Vértice:
O vértice é o ponto de maior ou menor valor da função (dependendo da direção da parábola). A coordenada x do vértice pode ser calculada pela fórmula:
x = -b/2a
Depois de encontrar x, você pode substituir esse valor na equação da função para encontrar a coordenada y do vértice. - Raízes ou Zeros:
As raízes ou zeros da função do segundo grau são os valores de x para os quais. Elas podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara, que é: 
O discriminante (parte dentro da raiz quadrada,determina o número de raízes reais: - Se o discriminante for positivo, existem duas raízes reais distintas.
- Se for igual a zero, existe uma raiz real (raiz dupla).
- Se for negativo, não existem raízes reais, apenas raízes complexas.
- Eixo de Simetria:
A parábola possui um eixo de simetria, que é uma linha vertical que passa pelo vértice da parábola. Sua equação é dada por x = -b/2a
Como Resolver uma Função do Segundo Grau?
Para resolver uma equação do segundo grau, você pode usar diferentes métodos. O mais comum é a fórmula de Bhaskara, mas também é possível resolver completando o quadrado ou utilizando o método gráfico.
- Método de Bhaskara:
Como já mencionado, a fórmula de Bhaskara é a forma mais eficaz de encontrar as raízes de uma função do segundo grau. A partir da equação, basta substituir os valores de a, b e c na fórmula e calcular as raízes. - Método do Completamento do Quadrado:
O completamento do quadrado é uma técnica onde transformamos a equação do segundo grau em uma forma que permite identificar facilmente as raízes. - Método Gráfico:
O gráfico da função pode ser utilizado para visualizar as raízes, que correspondem aos pontos onde a parábola corta o eixo x.
Exemplos de Funções do Segundo Grau
Vamos analisar a equação
- a = 1
- b = -4
- c = 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Logo, temos duas soluções:
Portanto, as raízes da equação são x = 3 e x = 1.
Conclusão
A função do segundo grau é um conceito fundamental para a álgebra e a geometria analítica. Compreender suas propriedades e como resolvê-la é essencial não apenas para a matemática, mas também para diversas áreas de conhecimento que envolvem modelagem matemática e análise de dados.
Se você tem mais dúvidas sobre o assunto ou precisa de mais exemplos, não hesite em buscar mais informações sobre função do segundo grau e suas aplicações.
Função do Segundo Grau
Questão 15 – Sobre o gráfico da função dada por f(x) = – x2 + 6x – 5, é verdade que:
a) sua concavidade é voltada para cima.
b) intercepta o eixo das abscissas para x = – 1.
c) intercepta o eixo das ordenadas para x = – 5.
d) o lucro é máximo para x igual a 4.
e) o lucro é positivo para x entre 2 e 10.
No vídeo abaixo você terá as resoluções das questões desse post!
Questão 16 – O lucro de uma empresa é dado por L(x)= (10 – x)(x – 2 ), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:
a) o lucro é positivo qualquer que seja
b) o lucro é positivo para x maior do que 10.
c) o lucro é NEGATIVO para x igual a
d) o lucro é máximo para x igual a 6.
e) o lucro é negativo para x entre 2 e 10.
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Questão 17 – Uma bola lançada verticalmente, para cima, tem sua altura h, em metros, dada em função do tempo t, em segundos, pela equação h = 20t – 5t2. Qual é a altura máxima atingida pela bola em metros?
Questão 18 – Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = – 25t2 + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
Questão 19 – Sejam R(x) = – 2x2 + 60x e C(x) = 10x + 200 as funções Receita e Custo para certo produto. Para que valores de x o lucro é positivo?
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Questão 20 – O lucro de uma empresa é dado por L(x)= (10 – x)(x – 2 ), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:
a) o lucro máximo é 6.
b) o lucro máximo é 16.
c) o lucro é mínimo para x igual a 16.
d) o lucro é mínimo para x igual a 6.
e) o lucro é negativo para x entre 2 e 10.
Questão 21 – (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em
centímetros, é
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
Questão 22 – Qual a altura máxima atingida por um projétil cuja trajetória pode ser descrita pela função: h(x) = – 4x2 + 5, sabendo que h é a altura do projétil e que x é a distância percorrida por ele, em metros?
a) 5 m b) 10 m c) 15 m d) 20 m e) 25 m
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Questão 23 – A respeito do estudo dos sinais de uma função do segundo grau, é possível afirmar, com certeza, que:
a) O valor do discriminante não pode ser usado para determinar a quantidade de raízes reais que uma função do segundo grau possui.
b) Se o valor do discriminante for igual a zero e o coeficiente a for positivo, então todos os pontos dessa função do segundo grau estarão sob o eixo x.
c) Se o valor do discriminante for igual a zero e o coeficiente a for positivo, então todos os pontos dessa função estarão acima do eixo x, exceto pelo vértice que estará sobre esse eixo.
d) Se o valor do discriminante for menor que zero, a função possui duas raízes reais e distintas e outras duas raízes complexas.
e) Se o valor do discriminante for maior que zero, não será possível calcular as raízes dessa função.
Questão 24 – A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão
representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos). Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?
a) 360. b) 180. c) 120. d) 6. e) 3.
Questão 25 – ENEM – Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = – 2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.
A segunda dedetização começou no
a) 19º dia.
b) 20º dia.
c) 29º dia.
d) 30º dia.
e) 60º dia.
RESPOSTAS
15) D
16) D
17) 20 m
18) 5 s
19) Intervalo: ]5;20[
20) B
21) Resolução:
A parábola corta o eixo x em apenas um ponto. Dessa forma, a função do segundo grau f(x) = 3/2 x2 – 6x + C possui duas raízes reais e iguais. logo o valor de Δ = 0.
Então:
(6)2 – 4.(3/2).c = 0
36 – 6c = 0
6c = 36
c = 6
Resp.: E
22) A
23) C
24) D
25) B
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