Função do Segundo Grau O que mais cai no Enem na prova de Matemática

Dando continuidade às aulas sobre o que mais cai no Enem em Matemática, falaremos hoje sobre a função do segundo grau. Lembrando que essa aula complementa o assunto de funções. 

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Função do Segundo Grau: O que é e Como Funciona

A função do segundo grau é um dos conceitos mais importantes na matemática, especialmente quando se trata de álgebra. Ela é essencial tanto para os alunos do ensino médio quanto para aqueles que buscam compreender as bases da matemática aplicada. Neste artigo, vamos explicar o que é uma função do segundo grau, suas principais características e como resolvê-la de forma simples.

O que é uma Função do Segundo Grau?

A função do segundo grau é uma função polinomial que pode ser representada pela equação:

$$f(x)=a{x}^2+bx+c$$

Onde:

• a, b e c são números reais.

• a ≠ 0 (caso contrário, a equação não seria mais do segundo grau).

Essa função é chamada de “quadrática” porque o termo que contém a variável $x$ é elevado ao quadrado, ou seja, $x^2$

Características da Função do Segundo Grau

1. Gráfico da Função (Parábola):
   O gráfico de uma função do segundo grau é uma curva chamada parábola. Ela pode ser voltada para cima ou para baixo, dependendo do valor de a:

   • Se a > 0, a parábola abre para cima.

   • Se a < 0, a parábola abre para baixo.

2. Vértice:
   O vértice é o ponto de maior ou menor valor da função (dependendo da direção da parábola). A coordenada x do vértice pode ser calculada pela fórmula:

   x = -b/2a

   Depois de encontrar x, você pode substituir esse valor na equação da função para encontrar a coordenada y do vértice.

3. Raízes ou Zeros:
   As raízes ou zeros da função do segundo grau são os valores de x para os quais $f(x) = 0$. Elas podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara, que é:

   

   O discriminante (parte dentro da raiz quadrada, $b^2 – 4ac$ determina o número de raízes reais:

   • Se o discriminante for positivo, existem duas raízes reais distintas.

   • Se for igual a zero, existe uma raiz real (raiz dupla).

   • Se for negativo, não existem raízes reais, apenas raízes complexas.

1. Eixo de Simetria:
   A parábola possui um eixo de simetria, que é uma linha vertical que passa pelo vértice da parábola. Sua equação é dada por  x = -b/2a
   

Como Resolver uma Função do Segundo Grau?

Para resolver uma equação do segundo grau, você pode usar diferentes métodos. O mais comum é a fórmula de Bhaskara, mas também é possível resolver completando o quadrado ou utilizando o método gráfico.

1. Método de Bhaskara:
   Como já mencionado, a fórmula de Bhaskara é a forma mais eficaz de encontrar as raízes de uma função do segundo grau. A partir da equação $ax^2 + bx + c = 0$, basta substituir os valores de a, b e c na fórmula e calcular as raízes.

2. Método do Completamento do Quadrado:
   O completamento do quadrado é uma técnica onde transformamos a equação do segundo grau em uma forma que permite identificar facilmente as raízes.

3. Método Gráfico:
   O gráfico da função pode ser utilizado para visualizar as raízes, que correspondem aos pontos onde a parábola corta o eixo x.

Exemplos de Funções do Segundo Grau

Vamos analisar a equação $f(x) = x^2 – 4x + 3$. Para resolver usando Bhaskara, identificamos:

• a = 1

• b = -4

• c = 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(3)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm 2}{2}$$

Logo, temos duas soluções:

$$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{4 – 2}{2} = 1$$

Portanto, as raízes da equação são x = 3 e x = 1.

Conclusão

A função do segundo grau é um conceito fundamental para a álgebra e a geometria analítica. Compreender suas propriedades e como resolvê-la é essencial não apenas para a matemática, mas também para diversas áreas de conhecimento que envolvem modelagem matemática e análise de dados.

Se você tem mais dúvidas sobre o assunto ou precisa de mais exemplos, não hesite em buscar mais informações sobre função do segundo grau e suas aplicações.

Função do Segundo Grau

Questão 15 – Sobre o gráfico da função dada por f(x) = – x² + 6x – 5, é verdade que:

a) sua concavidade é voltada para cima.

b) intercepta o eixo das abscissas para x = – 1.

c) intercepta o eixo das ordenadas para x = – 5.

d) o lucro é máximo para x igual a 4.

e) o lucro é positivo para x entre 2 e 10.

No vídeo abaixo você terá as resoluções das questões desse post!

Questão 16 – O lucro de uma empresa é dado por L(x)= (10 – x)(x – 2 ), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:

a) o lucro é positivo qualquer que seja

b) o lucro é positivo para x maior do que 10.

c) o lucro é NEGATIVO para x igual a

d) o lucro é máximo para x igual a 6.

e) o lucro é negativo para x entre 2 e 10.

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Questão 17 – Uma bola lançada verticalmente, para cima, tem sua altura h, em metros, dada em função do tempo t, em segundos, pela equação h = 20t – 5t². Qual é a altura máxima atingida pela bola em metros?

Questão 18 – Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = – 25t² + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

Questão 19 – Sejam R(x) = – 2x² + 60x e C(x) = 10x + 200 as funções Receita e Custo para certo produto.  Para que valores de x o lucro é positivo?

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Questão 20 – O lucro de uma empresa é dado por L(x)= (10 – x)(x – 2 ), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:

a) o lucro máximo é 6.

b) o lucro máximo é 16.

c) o lucro é mínimo para x igual a 16.

d) o lucro é mínimo para x igual a 6.

e) o lucro é negativo para x entre 2 e 10.

Questão 21 – (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x² – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em
centímetros, é
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6

RESPOSTAS

15) D

16) D

17) 20 m

18) 5 s

19) Intervalo: ]5;20[

20) B

21) Resolução:
A parábola corta o eixo x em apenas um ponto. Dessa forma, a função do segundo grau  f(x) = 3/2 x² – 6x + C possui duas raízes reais e iguais. logo o valor de  Δ = 0.
Então:
(6)² – 4.(3/2).c = 0
36 – 6c = 0
6c = 36
c = 6
Resp.: E

22) A

23) C

24) D

25) B

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