A Soma dos Cubos é um dos casos importantes de fatoração de expressões algébricas. Ela aparece em exercícios de Matemática do Ensino Fundamental, do Ensino Médio, de vestibulares e do ENEM.
Neste artigo, você vai aprender a identificar uma soma de cubos, aplicar a fórmula corretamente, resolver exemplos passo a passo e testar seus conhecimentos com 20 questões objetivas.
Soma dos Cubos: aprenda a fórmula e como aplicá-la
1. Qual é a fórmula da soma dos cubos?
A fórmula da soma de dois cubos é:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Isso significa que a soma de dois termos elevados ao cubo pode ser escrita como o produto de dois fatores:
- O primeiro fator é a soma das bases: a + b.
- O segundo fator é um trinômio formado pelo quadrado da primeira base, menos o produto das bases, mais o quadrado da segunda base.
Observe a fórmula da Soma dos Cubos:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Uma maneira prática de memorizar é: soma das bases, quadrado da primeira, menos o produto das bases, mais o quadrado da segunda.
2. Como demonstrar a fórmula da soma e dos cubos?
Podemos verificar a fórmula utilizando a propriedade distributiva.
Partimos do segundo membro:
(a + b)(a² − ab + b²)
Multiplicando cada termo do primeiro parêntese pelos termos do segundo:
= a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³
Observe que os termos −a²b e +a²b se anulam, assim como +ab² e −ab².
Restam apenas:
a³ + b³
Portanto, a fórmula está demonstrada.
Veja aqui um vídeo sobre a soma dos cubos
3. Exemplos resolvidos de soma dos cubos
Exemplo 1: Fatore x³ + 8
Primeiro, identificamos os cubos:
x³ + 8 = x³ + 2³
Assim, a = x e b = 2.
Aplicando a fórmula:
x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
Resposta: (x + 2)(x² − 2x + 4)
Exemplo 2: Fatore 8x³ + 27
Escrevemos cada termo como um cubo perfeito:
8x³ + 27 = (2x)³ + 3³
Aplicando a fórmula:
(2x + 3)[(2x)² − (2x)(3) + 3²]
Simplificando:
(2x + 3)(4x² − 6x + 9)
Exemplo 3: Fatore x³ + 64y³
Observe que:
x³ + 64y³ = x³ + (4y)³
Logo:
(x + 4y)(x² − 4xy + 16y²)
Resposta: (x + 4y)(x² − 4xy + 16y²)
Exemplo 4: Fatore 27a³ + 125b³
Identificamos os cubos perfeitos:
27a³ + 125b³ = (3a)³ + (5b)³
Aplicando a fórmula:
(3a + 5b)(9a² − 15ab + 25b²)
Resposta: (3a + 5b)(9a² − 15ab + 25b²)
Exemplo 5: Calcule 11³ + 9³ usando fatoração
Aplicando a fórmula:
11³ + 9³ = (11 + 9)(11² − 11 · 9 + 9²)
Calculando os fatores:
= 20(121 − 99 + 81)
= 20 · 103
Portanto:
11³ + 9³ = 2060
4. Como identificar uma soma de cubos?
Para aplicar a fórmula, procure uma expressão formada pela soma de dois cubos perfeitos.
Exemplos:
- x³ + 1 = x³ + 1³
- 8x³ + 1 = (2x)³ + 1³
- 27a³ + 8b³ = (3a)³ + (2b)³
- 64x³ + 343 = (4x)³ + 7³
Lembre-se: um cubo perfeito pode ser um número, uma variável ou uma expressão algébrica elevada ao cubo.
5. Qual é a diferença entre soma e diferença de cubos?
É importante não confundir as duas fórmulas.
Soma de cubos:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Diferença de cubos:
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Observe que, na soma de cubos, o primeiro fator contém uma soma e o segundo fator apresenta os sinais positivo, negativo e positivo.
Na diferença de cubos, o primeiro fator contém uma subtração e o segundo apresenta apenas sinais positivos.
6. Erros comuns na soma dos cubos
Evite os seguintes erros:
- Esquecer que o termo do meio do segundo fator é negativo.
- Confundir a³ + b³ com (a + b)³.
- Não identificar corretamente a base do cubo, como 8x³ = (2x)³.
- Esquecer de elevar ao quadrado cada base no segundo fator.
- Aplicar a fórmula da diferença de cubos quando existe uma soma.
Por exemplo:
(x + 2)³ não é igual a x³ + 8.
Na verdade:
(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
7. Exercícios de soma dos cubos
Resolva as 20 questões objetivas a seguir. O gabarito e as resoluções comentadas estão no final do artigo.
Questão 1
A fatoração de x³ + 8 é:
A) (x + 2)(x² + 2x + 4)
B) (x + 2)(x² − 2x + 4)
C) (x − 2)(x² + 2x + 4)
D) (x + 8)(x² − 8x + 64)
Questão 2
Fatorando a³ + 27, obtemos:
A) (a + 3)(a² − 3a + 9)
B) (a + 3)(a² + 3a + 9)
C) (a − 3)(a² + 3a + 9)
D) (a + 27)(a² − 27a + 729)
Questão 3
Qual é a fatoração de 8x³ + 1?
A) (2x + 1)(4x² + 2x + 1)
B) (2x − 1)(4x² + 2x + 1)
C) (2x + 1)(4x² − 2x + 1)
D) (8x + 1)(64x² − 8x + 1)
Questão 4
A fatoração de 27a³ + 8b³ é:
A) (3a + 2b)(9a² + 6ab + 4b²)
B) (3a − 2b)(9a² + 6ab + 4b²)
C) (3a + 2b)(9a² − 6ab + 4b²)
D) (27a + 8b)(9a² − 6ab + 4b²)
Questão 5
Qual expressão corresponde à soma de dois cubos perfeitos?
A) x² + 16
B) x³ + 16
C) x³ + 64
D) x² + 64
Questão 6
A expressão x³ + 125 pode ser fatorada como:
A) (x + 5)(x² − 5x + 25)
B) (x + 5)(x² + 5x + 25)
C) (x − 5)(x² + 5x + 25)
D) (x + 25)(x² − 25x + 625)
Questão 7
Fatore 64x³ + 343.
A) (4x + 7)(16x² + 28x + 49)
B) (4x − 7)(16x² + 28x + 49)
C) (4x + 7)(16x² − 28x + 49)
D) (8x + 7)(64x² − 56x + 49)
Questão 8
Qual é a fatoração de a³ + b³?
A) (a + b)(a² + ab + b²)
B) (a − b)(a² − ab + b²)
C) (a + b)(a² − ab + b²)
D) (a + b)³
Questão 9
A fatoração de 125x³ + 8y³ é:
A) (5x + 2y)(25x² − 10xy + 4y²)
B) (5x − 2y)(25x² + 10xy + 4y²)
C) (5x + 2y)(25x² + 10xy + 4y²)
D) (25x + 8y)(125x² − 20xy + 64y²)
Questão 10
Calcule 2³ + 3³.
A) 13
B) 27
C) 35
D) 36
Questão 11
A fatoração de x³ + 216 é:
A) (x + 6)(x² − 6x + 36)
B) (x + 6)(x² + 6x + 36)
C) (x − 6)(x² + 6x + 36)
D) (x + 216)(x² − 216x + 46656)
Questão 12
Qual é a fatoração de 8a³ + 125b³?
A) (2a + 5b)(4a² + 10ab + 25b²)
B) (2a − 5b)(4a² + 10ab + 25b²)
C) (2a + 5b)(4a² − 10ab + 25b²)
D) (8a + 125b)(64a² − 1000ab + 15625b²)
Questão 13
Se x = 2, qual é o valor de x³ + 4³?
A) 64
B) 68
C) 72
D) 80
Questão 14
Qual alternativa apresenta corretamente a soma de cubos como produto de fatores?
A) a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
B) a³ + b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
C) a³ + b³ = (a + b)(a² + ab + b²)
D) a³ + b³ = (a + b)³
Questão 15
Fatore x³ + 64y³.
A) (x + 4y)(x² + 4xy + 16y²)
B) (x − 4y)(x² + 4xy + 16y²)
C) (x + 4y)(x² − 4xy + 16y²)
D) (x + 8y)(x² − 8xy + 64y²)
Questão 16
A soma 1³ + 2³ + 3³ é igual a:
A) 18
B) 27
C) 36
D) 42
Questão 17
A fatoração de 216a³ + 1 é:
A) (6a + 1)(36a² + 6a + 1)
B) (6a − 1)(36a² + 6a + 1)
C) (6a + 1)(36a² − 6a + 1)
D) (3a + 1)(9a² − 3a + 1)
Questão 18
Qual é o valor de 10³ + 5³?
A) 1025
B) 1125
C) 1250
D) 1500
Questão 19
A fatoração de 343x³ + 27 é:
A) (7x + 3)(49x² + 21x + 9)
B) (7x + 3)(49x² − 21x + 9)
C) (7x − 3)(49x² + 21x + 9)
D) (7x + 3)(49x² − 9x + 9)
Questão 20
Sabendo que a + b = 5 e ab = 6, qual é o valor de a³ + b³?
A) 15
B) 25
C) 35
D) 45
8. Gabarito Soma dos Cubos
| Questão | Resposta | Questão | Resposta |
|---|---|---|---|
| 1 | B | 11 | A |
| 2 | A | 12 | C |
| 3 | C | 13 | C |
| 4 | C | 14 | A |
| 5 | C | 15 | C |
| 6 | A | 16 | C |
| 7 | C | 17 | C |
| 8 | C | 18 | B |
| 9 | A | 19 | B |
| 10 | C | 20 | C |
9. Resoluções comentadas Soma dos Cubos
Resolução da questão 1
Temos:
x³ + 8 = x³ + 2³
Aplicando a fórmula da soma dos cubos:
x³ + 2³ = (x + 2)(x² − 2x + 4)
Resposta: alternativa B.
Resolução da questão 2
Como 27 = 3³, podemos escrever:
a³ + 27 = a³ + 3³
Aplicando a fórmula:
a³ + 3³ = (a + 3)(a² − 3a + 9)
Resposta: alternativa A.
Resolução da questão 3
Observe que 8x³ = (2x)³.
Portanto:
8x³ + 1 = (2x)³ + 1³
Aplicando a fórmula:
(2x + 1)(4x² − 2x + 1)
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 4
Escrevemos:
27a³ + 8b³ = (3a)³ + (2b)³
Aplicando a fórmula:
(3a + 2b)(9a² − 6ab + 4b²)
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 5
Para que a expressão seja uma soma de dois cubos perfeitos, os dois termos devem poder ser escritos como cubos.
Como 64 = 4³, temos:
x³ + 64 = x³ + 4³
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 6
Sabemos que 125 = 5³.
Assim:
x³ + 125 = x³ + 5³
Aplicando a fórmula:
(x + 5)(x² − 5x + 25)
Resposta: alternativa A.
Resolução da questão 7
Identificamos:
64x³ = (4x)³ e 343 = 7³.
Logo:
64x³ + 343 = (4x)³ + 7³
Aplicando a fórmula:
(4x + 7)(16x² − 28x + 49)
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 8
A fórmula da soma de cubos é:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 9
Identificamos:
125x³ = (5x)³ e 8y³ = (2y)³.
Aplicando a fórmula:
(5x + 2y)(25x² − 10xy + 4y²)
Resposta: alternativa A.
Resolução da questão 10
Calculamos os cubos:
2³ = 8
3³ = 27
Somando:
8 + 27 = 35
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 11
Como 216 = 6³:
x³ + 216 = x³ + 6³
Aplicando a fórmula:
(x + 6)(x² − 6x + 36)
Resposta: alternativa A.
Resolução da questão 12
Escrevemos:
8a³ = (2a)³ e 125b³ = (5b)³.
Aplicando a fórmula:
(2a + 5b)(4a² − 10ab + 25b²)
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 13
Substituímos x por 2:
x³ + 4³ = 2³ + 4³
Calculando:
8 + 64 = 72
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 14
A identidade correta para a soma dos cubos é:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Resposta: alternativa A.
Resolução da questão 15
Como 64y³ = (4y)³:
x³ + 64y³ = x³ + (4y)³
Aplicando a fórmula:
(x + 4y)(x² − 4xy + 16y²)
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 16
Calculamos cada cubo:
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
Somando:
1 + 8 + 27 = 36
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 17
Observe que 216a³ = (6a)³.
Logo:
216a³ + 1 = (6a)³ + 1³
Aplicando a fórmula:
(6a + 1)(36a² − 6a + 1)
Resposta: alternativa C.
Resolução da questão 18
Calculamos:
10³ = 1000
5³ = 125
Somando:
1000 + 125 = 1125
Resposta: alternativa B.
Resolução da questão 19
Escrevemos:
343x³ = (7x)³ e 27 = 3³.
Aplicando a fórmula:
(7x + 3)(49x² − 21x + 9)
Resposta: alternativa B.
Resolução da questão 20
Podemos utilizar a identidade:
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b)
Como a + b = 5 e ab = 6, substituímos:
a³ + b³ = 5³ − 3 · 6 · 5
Calculando:
a³ + b³ = 125 − 90
a³ + b³ = 35
Resposta: alternativa C.
10. Conclusão – Soma dos Cubos
A soma dos cubos é uma ferramenta importante para simplificar expressões algébricas e resolver problemas de fatoração.
O segredo é reconhecer os cubos perfeitos e aplicar corretamente a fórmula:
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Pratique os exercícios, revise os erros e procure identificar os padrões algébricos em cada expressão.
Continue acompanhando o Gênio da Matemática para aprender Matemática com explicações claras, exemplos resolvidos e exercícios para vestibulares e ENEM.
Glossário de Matemática Clique Aqui
Nosso Curso Online de Matemática: Clique Aqui
Nosso site do Enem Clique Aqui
Deixe um comentário