Definição de Logaritmo

O logaritmo de um número positivo real  x, na base b, é o expoente pelo qual b deve ser elevado para se chegar a x, b é número positivo real diferente de 1. Em outras palavras, o logaritmo de x na base b é a solução de y na equação

Onde

• b é a base do logaritmo;
• x é o logaritmando;
• y é o próprio logaritmo;

log _b x = y     ↔     b^y = x

Definição de logaritmo

Exemplos – Definição de logaritmo:

a) log₃9 = 2, pois 3² = 9

b) log₄16 = 2, pois 4² = 16

c) log₁₃169 = 2, pois 13² = 169

Consequências das Definições:

1ª Consequência – Logaritmo de 1 em qualquer base a é 0.
log_a1 = 0
log_a1 = x
a^x = 1 (a⁰ = 1)
x = 0

2º Consequência – O logaritmo de um número a, na mesma base a, será 1.
log_aa = 1
log_aa = x
a^x = a
x = 1

3º Consequência – O logaritmo de uma potência de base e logaritmando iguais a “a” é igual ao expoente m.
log_aa^m = m
log_aa^m = x
a^x = a^m
x = m

4º Consequência – Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.
log_ab = log_ac
log_ab = x → a^x = b
log_ac = x → a^x = c
b = c

5º  – Consequência – Se a base de uma potência tem com expoente um logaritmo cuja base é de mesmo valor, então a resposta será sempre o valor do logaritmando b
a^log_ab= b
a^log_ab= x
log_ab= a_x
log_ax = log_ab
x = b

Exercícios de Logaritmo

01) log₂ x = 7

a) 72

b) 54

c) 128

d) 40

e) 102

02) log _1/3 x = 2

a) 1/9

b) 1/3

c) 1/5

d) -3/2

e) -1/4

03) log _x 27 = 3

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

04) log _x 125/8 = 3

a) 2

b) -7/5

c) 1

d) 5/2

e) 2/3

05) log ₃ 1/9 = x

a) -1

b) -2

c) -3

d) -4

e) -5

06) log ₄ 1/32 = x

a) 2/5

b) 5/2

c) -5/2

d) -2/5

e) 0

07) log₂ = x

a) 2

b) 3/2

c) 1/4

d) -1

e) 0

08) log 0,01 = – x

a) 2

b) -1

c) -2

d) 5

e) 1

09) log ₅ (3x + 1) = 2

a) 1

b) 7

c) 9

d) 8

e) 2

10) log ₃ (5x – 7) = 0

a) 2/5

b) 4/5

c) 7/5

d) 8/5

e) 1

11) (UFRGS) Se log ₂ x = 3/2 quais as afirmações que são verdadeiras

a) x é racional      b) x é irracional     c) 2 < x < 3

a) somente a

b) a e b

c) b e c

d) a, b e c

e) somente c

12) (UFRGS) O conjunto solução da inequação log _1/3 x < 2 é

a) {x ∈ R / x > 2}

b) {x ∈ R / x < -5}

c) {x∈ R / x > 1/9}

d) {x ∈ R / x > 0}

e) {x ∈ R / x < 0}