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Identidades Trigonométricas

Regis Cortês 23 de agosto de 2016 às 18:43
Tempo de leitura
4 min
identidade trigonométrica
identidade trigonométrica

 Identidades Trigonométricas

O que são identidades trigonométricas?

Identidades trigonométricas, dentro do capítulo de trigonometria,  são equações que envolvem funções trigonométricas, e que tem por objetivo identificar a igualdade da função apresentada na direita com a função mostrada na esquerda da igualdade trigonométrica. Essas equações são usadas para simplificar expressões envolvendo as funções Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante e cossecante.

Serão válidas as identidades trigonométricas , desde que ambos os lados da igualdade sejam iguais, respeitando o domínio das funções  envolvidas.

O curso Gênio da Matemática tem um capítulo inteiro de Trigonometria para você aprofundar esse e os demais assuntos da Matemática!

Como resolver identidade trigonométrica?

As  identidades trigonométricas são resolvidas por meio de demonstrações usando as fórmulas conhecidas da trigonometria.

Será considerada uma identidade quando, nesse desenvolvimento, obtivermos o mesmo valor ou a mesma função nos dois lados da igualdade.

Usamos algumas técnicas bem simples que irão facilitar muito os cálculos.

A primeira delas é transformar todas as funções para seno e cosseno. Dessa forma poderemos simplificar as expressões.

Também poderemos optar por trabalhar somente um lado da igualdade  até que apareça a identidade trigonométrica.

O quadro abaixo tem todas as transformações que precisaremos executar nesse tipo de problema.

Procure transformar as expressões que estão em azul nas que estão em vermelho. Após esse passo simplifique ao máximo e identifique se há identidade trigonométrica

A função Secante é a inversa da função cosseno

sec (x) =         1       
                    cos (x)

A função Cossecante é a inversa da função Seno

cossec (x) =  1 /sen (x)

A função Cotangente é a inversa da função Tangente

cotg (x) =      1 / tg (x)        ou          cotg (x) = cos (x) / sen (x)

A partir das relações fundamentais, podemos gerar novas relações de que serão fundamentais para o nosso estudo de Trigonometria.

Vamos a elas:

1ª relação decorrente:

Seja a relação fundamental sen²(x) + cos²(x) = 1.

Quando dividimos a função inteira  por cos²(x) temos:

sen² (x) + cos² (x) =       1      
cos² (x)      cos² (x)     cos² (x)    

Logo:     

tg² (x) + 1 = sec² (x)
ou
 sec² (x) = 1+ tg² (x)

2ª relação decorrente:

Com a mesma relação fundamental da trigonometria  sen²(x) + cos²(x) = 1, dividimos toda relação por sen²(x).

sen² (x) + cos² (x) =       1      
sen² (x)    sen² (x)     sen² (x) 

1 + cotg² (x) = cossec² (x)
ou
 cossec² (x) = 1 + cotg² (x)

Usamos as funções trigonométricas, as relações fundamentais da trigonometria, as relações decorrentes e as funções do arco duplo para solucionar as equações de identidades trigonométricas . 

Exemplo de funções com arco duplo

sen (2x) = 2 . sen (x) . cos (x)
cos (2x) = cos² (x) – sen² (x)
tg (2x) =  2. tg (x)
                   1 – tg² x

 Exemplos

Exercícios de Identidades trigonométricas – Trigonometria:
1)      4.sen2a / sena.cosa = 8
         4.sen(a+a)/sena.cosa=8
         4.2sena.cosa/sena.cosa=8
          8=8
_____________________________________________________________
2)            cos2a/(sena-cosa)(sena+cosa) = -1
               (cos2x – sen2x)/(sen2x – cos2x) = -1
               -(-cos2x + sen2x)/(sen2x – cos2x) =-1
               -1 = -1
_____________________________________________________________
3)           cossc2x. tgx = cotgx.sec2x
               Transformando para seno e cosseno
                (1/sen2x).(senx/cosx) =(cosx/senx). (1/cos2x)
                Simplificando na divisão
                  1/senx.cosx = 1/senx.cosx
Veja aqui como aprender Trigonometria
Agora tente encontrar as duas identidades trigonométricas :
   Exercícios de Trigonometria – Identidades trigonométricas 
  1) (senx+tanx)/(cotgx+cosscx) = senx.tanx
    2) sec2x.cossec2x= sec2x + cossec2x

   3) sen2x cos x⋅tg x = sen x

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01) sen2x + cos2x = 1 02) 1 + tg2x = sec2x = 1/cos2x
03) 1 + cotg2x = cosec2x = 1/sen2x 04) sen (-x) = -sen x 
05) cos (-x) = cos x 06) tg (-x) = -tg x= -senx/cosx
07) cosecx = 1/senx 08) secx = 1/cosx
09) cotgx = cosx/senx 10) tgx = senx/cosx
11)  sen(a±b) = sena.cosb±cosa.senb 12) cos(a-b) = cosa.cosb+sena.senb
13) tg(a+b) = (tga+tgb)/(1+tga.tgb) 14) tg(a-b) = (tga-tgb)/(1+tga.tgb)
15) 1-cos2x= sen2x 16) 1-sen2x= cos2x
17) sen 2x = 2 sen x.cos x 18) cos 2x = cos2x – sen2x = 1- 2 sen2x
19) cos2x = (1+cos2x)/2   *ident 18 20) sen2x= (1-cos2x)/2   *ident 18
21) tg2x = 2tgx/(1-tg2x) 22) tgx/2 = (1-cosx)/senx = senx/(1+cosx)

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Última atualização em 17 de fevereiro de 2020 às 14:33