EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

O Departamento de Ensino da Aeronáutica está com concurso público aberto para provimento de 180 vagas para o Exame de Admissão ao Curso Preparatório de Cadetes do Ar do ano de 2018, sendo 160 vagas para o sexo masculino e 20 vagas para o sexo feminino. Veja aqui a prova  ( EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática )!

Os interessados poderão se inscrever, via internet, no período de 19/04/2017 a 09/05/2017. A taxa de inscrição é de R$ 60,00. site http://ingresso.afaepcar.aer.mil.br. O concurso terá provas escritas, inspeção de saúde, exame de aptidão psicológica, teste de avaliação do condicionamento físico e validação documental.

A aplicação da prova objetiva será em 09/07/2017. O processo seletivo é de âmbito nacional.
As provas escritas de português, matemática, inglês e redação serão no dia 24 de julho, nas cidades de Belém, Recife, Natal, Salvador, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Barbacena (MG), São Paulo, Pirassununga (SP), Campo Grande, Curitiba, Porto Alegre, Brasília, Manaus, Boa Vista e Porto Velho.

EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

Questão 1

Considere, em R, a equação (m+2)x²-2mx+(m-1)=0 na variável x, em que m é um número real diferente de -2. Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (verdadeira) ou F (falsa).

(     ) Para todo m>2 a equação possui conjunto solução vazio.

(     ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.

(     ) Na equação, se ∆>0, então m só poderá assumir valores positivos.

A sequência correta é

1. a) V – V – V
2. b) F – V – F
3. c) F – F – V
4. d) V – F – F

Resolução – EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

(Verdadeira) Para todo m>2 a equação possui conjunto solução vazio pois:

Para o conjunto ser vazio o valor de ∆ deve ser negativo

∆ = (-2m)² – 4.(m+2) . (m-1) = 4m² – 4(m²-m+2m-2) = -4m + 8

∆< 0

4m + 8 < 0

 -4m < -8

m > 2 

(Falsa) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.

 Para a equação possuir duas raízes reais e iguais devemos ter ∆ =0:

-4m+8 = 0

 -4m = -8

m = 2

(Falsa) Na equação, se ∆>0, então m só poderá assumir valores positivos.

Calculando ∆>0

-4m+8 > 0

 -4m > -8

 m < 2

Existe infinitos números negativos no intervalo m < 2.

 Resposta [D]

Questão 2

João, ao perceber que seu carro apresentara um defeito, optou por alugar um veículo para cumprir seus compromissos de trabalho. A locadora, então, lhe apresentou duas propostas:

– plano A, no qual é cobrado um valor fixo de R$50,00 e mais R$1,60 por quilômetro rodado.

– plano B, no qual é cobrado um valor fixo de R$64,00 mais R$1,20 por quilômetro rodado.

João observou que, para certo deslocamento que totalizava k quilômetros, era indiferente optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor final a ser pago seria o mesmo.

É correto afirmar que K é um número racional entre

1. a) 14,5 e 20
2. b) 20 e 25,5
3. c) 25,5 e 31
4. d) 31 e 36,5

 Resolução – EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

 Temos aqui um caso de função do primeiro grau:

 F(x) = ax+b   onde b é o valor fixo e a é o valor pago por km.

 Montando as equações

F(x) = ax+b  

A(x) =  1,6b + 50

 B(x) = 1,2a + 64

Para avaliar o melhor plano igualamos as funções

 A(x) = B(x), temos:

 50 + 1,6b = 64 + 1,2b

0,4b = 14

 b = 35km, portanto, 31 < 35=b < 36,5 

 Resposta [D]

EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

Questão 3

No concurso CPCAR foi concedido um tempo T para a realização de todas as provas: Língua Portuguesa, Matemática e Língua Inglesa; inclusive marcação do cartão-resposta.

Um candidato gastou 1/3 deste tempo T com as questões de Língua Portuguesa e 25% do tempo restante com a parte de Língua Inglesa.

A partir daí resolveu as questões de Matemática empregando 80% do tempo que ainda lhe restava. Imediatamente a seguir, ele gastou 5 minutos preenchendo o cartão-resposta e entregou a prova faltando 22 minutos para o término do tempo T estabelecido.

É correto afirmar que o tempo T, em minutos, é tal que

a) T < 220

b) 220 ≤ T < 240

c) 240 ≤ T < 260

d) T ≥ 260

Resolução  EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

 T=tempo

Tempo Língua Portuguesa: T/3

 Tempo Língua Inglesa: 1/4 . 2T/3 = T/6

 Tempo Matemática: 80/100 ( 1–T/3–T/6 ) = 2T/5

 Tempo u preenchimento do cartão de respostas: 5 minutos.

 Tempo que sobrou: 22 minutos.

 Temos então a seguinte equação:

T/3 + T/6 + 2T/5 + 5 + 22 = T

 (10T + 5T + 12T + 150 + 660)/30 = 30T/30

3T = 810

T = 270 minutos.

 Logo  T ≥ 260

   Resposta [D]

Questão 4

Um grupo de n alunos sai para lanchar e vai a uma pizzaria. A intenção do grupo é dividir igualmente a conta entre os n alunos, pagando, cada um, p reais. Entretanto, 2 destes alunos vão embora antes do pagamento da referida conta e não participam do rateio. Com isto, cada aluno que permaneceu teve que pagar (p+10) reais.

Sabendo que o valor total da conta foi de 600 reais, marque a opção INCORRETA.

a) O valor que cada aluno que permaneceu pagou a mais corresponde a 20% de p

b) n é um número maior que 11

c) p é um número menor que 45

d) O total da despesa dos dois alunos que saíram sem pagar é maior que 80 reais.

 Resolução  EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

 A conta por aluno deveria ser: p = 600/n

 Alunos que não pagaram: p+p = 600/n + 600/n = 1200/n

 Demais  pagaram 10 a mais cada para quitar o total da dívida

Logo:

(n-2).10 = 1200/n

n²-2n-120=0

n=12 ou n = -10

Substituindo o valor válido n=12 em p = 600/n =  600/12 = 50

Logo p=50

Análise das alternativas:

 a) O valor que cada aluno que permaneceu pagou a mais corresponde a 20% de p

20% de 50 = 10   ——  Verdadeiro

b) n é um número maior que 11

 n=12>11   ——   Verdadeiro

c) p é um número menor que 45

  pois p=50>45   ——   Falso

d) O total da despesa dos dois alunos que saíram sem pagar é maior que 80 reais.

2.50=100>80  ——    Verdadeiro

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Questão 5

Sobre a equação  2 / [x+√(2-x²)] + 2 / [x-√(2-x²)] = x respeitando sua validade no universo dos números reais, analise as afirmativas.

1. Possui duas raízes irracionais.
2. Não possui raízes negativas
3. Possui conjunto solução com um único elemento.

Pode-se afirmar, então, que

a) todas são verdadeiras.

b) apenas a I é falsa.

c) todas são falsas.

d) apenas a III é verdadeira.

Resolução  EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

Para seguir a condição de Existência os denominadores da equação não deverão ser iguais a zero:

 x+(√2-x² )≠ 0   e  x – (√2-x²)≠ 0 

 Resolvendo a equação, temos:

 2/ [x + √(2-x²)]  + 2/ [x – √(2-x²)] = x

Tirando o MMC temos:

{2[x – √(2-x²)] + 2[x + √(2-x²)]} / [x – √(2-x²)]. [x + √(2-x²)] = x

 4x =  x (x²-(2-x²))

 2x³ – 6x =0

 2x(x² – 3)=0

 x = 0 ou x ±√3

 Se  x=0, então a condição de existência é verificada, mas para x=±√3,

a condição 2 – x² > 0 não é verdadeira, pois 2 – (±√3)² < 0

 Sendo assim o conjunto verdade é dado por  V = {0}

 Logo [II] e [III] são verdadeiras e [I] é falsa. 

 Resposta [B]

Questão 6

Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente, da divisão do polinômio x³-6x²+9x-3 pelo polinômio                 x²-5x+6, em que x real.

O gráfico que melhor representa a função real definida por P(x) = Q(x) + R(x) passa pelo ponto:

a) (0,2)

b) (2,2)

c) (-2,0)

d) (-2,-2)

Resolução  EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

Dividindo o polinômio x³ – 6x² + 9x – 3   por   x² – 5x + 6 temos como

resultado o quociente  Q(x)= x-1  e o resto -2x+3

x³ – 6x² + 9x – 3)  │  x² – 5x + 6

-x³ + 5x² – 6x             x – 1

———————

-x² + 3x – 3

X² – 5x + 6

———————-

-2x + 3

Logo;

P(x) = x – 1 – 2x + 3

P(x) = –x + 2,

então o gráfico passa por (0,2)

Resposta [A].

Questão 7

Certa máquina, funcionando normalmente 5 horas por dia, gasta 3 dias para produzir 1200 embalagens.

Atualmente está com esse tempo de funcionamento diário reduzido em 20% trabalhando, assim, apenas T horas por dia.

Para atender uma encomenda de 1840 embalagens, aproveitando ao máximo em todos os dias o seu tempo T de funcionamento, ela gastará no último dia

a) 120 minutos

b) 150 minutos

c) 180 minutos

d) 200 minutos

Resolução

5h – 20% de 5h = 5 – 1 = 4h ( diárias )

Dias          Horas trabalhadas por dia          Número de embalagens

3                         5                                                1200

X   ↓                    4   ↑                                          1840   ↓

3/x = 4/5 . 1200/1840 → 3/x = 12/23 → x = 5,75

Logo, no último dia o tempo total utilizado foi 0,75 do tempo diário, ou seja, 0,75 de 4h = 3h = 180 minutos

Resposta [C]

Questão 8

Analise as proposições abaixo e classifique-as em V (verdadeira) ou F (falsa).

(     ) Se m = 0,0001.(0,01)².1000 / 0,001 então m = 1 /100

(     ) O número ( 0,899² – 0,101² ) é menor que 7/10

(     ) √(2^{√2 + 1).(√2-1)} . √4√(2^{(√3+1)(√3-1)} ) )é irracional.

A sequência correta é

a) V – F – F

b) V – F – V

c) F – F – F

d) F – V – V

Resolução – EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

Verdadeira.

m = 0,0001.(0,01)2.1000 / 0,001 então m = 10-4.(10-2)2.103 / 10-3 = 10-2 = 1/100  Verdadeira

( 0,8992 – 0,1012 ) = (0,899 + 0,101).(0,899 – 0,101) = 0,789 > 7/10   Falsa.

√(2^{√2 + 1).(√2-1)} . √4√(2^{(√3+1)(√3-1)} = √(2^{(2 – 1)} .√4√(2^(3-1) = √2.√8=4, que é racional  Falsa.

Logo, a sequência pedida é V – F – F.

Resposta [A]

Questão 9

Uma agência de turismo fez um levantamento para apurar a faixa etária de um grupo de N pessoas que se interessaram por determinada viagem. No registro das idades dessas pessoas, em anos, foram utilizados exatamente N números inteiros positivos e entre esses números foi observado que:

• 10 eram múltiplos de 8,
• 12 eram múltiplos de 4 e
• 8 eram números primos.

É correto afirmar que o número de divisores positivos de N é igual a

a) 7.

b) 6.

c) 5.

d) 4.

Resolução  EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

Como todo inteiro múltiplo de 8 também é múltiplo de 4, então os 10 múltiplos de 8 estão contidos nos 12 múltiplos de 4. Logo teremos N = 12 + 8 = 20 que apresenta os divisores positivos {1,2,4,5,10,20}. Portanto, N possui 6 divisores positivos.

Resposta [B]

Questão 10

Considere a = 11⁵⁰, b = 4¹⁰⁰ e c = 2¹⁵⁰ e assinale a alternativa correta

1. a) c < a < b c) a< b < c
2. b) c < b < a. d) a < c < b

a = 11⁵⁰         b = 4¹⁰⁰ = (4²)⁵⁰ = 16⁵⁰       c = 2¹⁵⁰ = (2³)⁵⁰ = 8⁵⁰

Como 8⁵⁰ < 11¹⁵⁰ < 16^50, então c < a < b.

Resposta [A]

Questão 11

Simplificando as expressões :

A = {[1-(y/x)²].x²} / (√x-√y)²+2√xy   e    B = (x²-xy) / 2x  nas quais y > x > 0, é correto afirmar que :

a) A/B = 1/2

b) B/A é Real

c) A . B > 0

d) A + B > 0

Resolução EPCAR 2017 Prova Resolvida de Matemática

A = {[1-(y/x)²].x²} / (√x-√y)²+2√xy  = ( x² – y² ) /(x+y) = x – y

B = (x²-xy) / 2x = x(x-y)/2x = (x-y)/2

Como y>x>0, concluímos que A<0 e B<0 portanto, A>B>0

Resposta [C]