Como achar uma fração geratriz a partir de uma dizima periódica?

Como achar uma fração geratriz de uma dizima periódica?

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Bem primeiramente vamos explicar o que é uma dízima periódica: é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período.

Exemplos:

  • Dízimas Periódicas Simples:

0,7777…

0,2552525…

0,124124124…

E como achar uma fração geratriz a partir de uma dizima periódica?

Para construí-la é só colocar um algarismo “9 ” no denominador para cada algarísmo que se repete. Então:

0,777… = 7/9

0,252525…=24/99

0,124124124…=124/999

 

  • Dízimas Periódicas Compostas

0,13333…

0,1252525…

Nesse caso devemos desmembrar e depois somar as frações desmembradas. Então

0,13333… = 0,7 + 0,0333…= 1/10 + 3/90 =  12/90 = 2/15

0,1252525… = 0,1 + 0,0252525… = 1/10 + 25/990 = 1015/990 = 203/198

Bom mas como podemos provar que 0,44 é 4/9?

Vamos lá

Prova:

X = 0,444…    (multiplicando-se por 10 os 2 termos temos:

10X = 4,444…

10X = 4 + 0,444…

10X = 4 + X

9X  = 4

x= 4/9 Entendeu?

E o número 0,9999… = 1 ?

0,99 A resposta é sim, 0,999…=1

Usando a equação acima podemos provar isso!

 

 

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